Borsuk–Ulam-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Borsuk–Ulam-tétel azt állítja, hogy minden \mathbb{S}^n-t \R^n-be képező folytonos vektormezőhöz van két átellenes pont, amit a vektormező ugyanarra a vektorra képez. S. Ulam sejtését K. Borsuk látta be 1933-ban.

Speciálisan, az n=2 esetét is nevezik Borsuk–Ulam-tételnek. Ezt az esetet azzal szokás szemléltetni, hogy mindig van a Földön két átellenes pont, ahol a hőmérséklet és a légnyomás is megegyezik.

Következményei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • \mathbb{S}^n nem képezhető le homeomorf módon \R^n egy részhalmazába sem.
  • A sonkásszendvicstétel: adva legyen \R^n-ben n test, amik minden irányban elfelezhetők hipersíkkal. Ekkor van egy hipersík, ami mindegyiket felezi.
  • Lusternik–Schnirelmann-tétel: akárhogy is fedjük le \mathbb{S}^n-t n+1 nyílt halmazzal, mindig lesz köztük olyan, ami tartalmaz átellenes pontpárokat.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel indirekt, hogy egy f(v) függvényre nem igaz a tétel, tehát előállítható a \frac{\mathrm{g(x)}=\mathrm{f(x)}-\mathrm{f(-x)}}{|| \mathrm{g(x)}=\mathrm{f(x)}-\mathrm{f(-x) ||}} egységvektormező. Ez egy páratlan függvény. Kiterjed a peremre, ezért körülfordulási száma nulla, de mivel páratlan, ezért a körülfordulási száma sem lehet páros, ez pedig ellentmondás.

Felhasznált forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szűcs András: Topológia