A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-térbeli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.
Legyen
H
{\displaystyle H}
{
e
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
H
{\displaystyle H}
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
∑
k
=
1
∞
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
≤
‖
x
‖
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}
ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot .
Ha a fenti ortonormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.
A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:
0
≤
‖
x
−
∑
k
=
1
n
⟨
x
,
e
k
⟩
e
k
‖
2
=
‖
x
‖
2
−
2
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
+
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
=
‖
x
‖
2
−
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
,
{\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}
Ez a szócikk a PlanetMath Bessel inequality cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.
