„Koordinátaszingularitás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Példák: kép |
→Példák: Források |
||
42. sor: | 42. sor: | ||
Az <math>r=1</math> rögzítéssel kapjuk a gömbi koordináta-rendszert, ami megegyezik a földrajzi koordináta-rendszerrel. Mivel az a gömbfelület két pontban, az <math>(0,0,1)</math> és a <math>(0,0,-1)</math> pontokban metszi a ''z''-tengelyt, azért a földrajzi koordinátákban csak a <math>(0,0,1)</math> és a <math>(0,0,-1)</math> pontokban van koordináta-szingularitás. |
Az <math>r=1</math> rögzítéssel kapjuk a gömbi koordináta-rendszert, ami megegyezik a földrajzi koordináta-rendszerrel. Mivel az a gömbfelület két pontban, az <math>(0,0,1)</math> és a <math>(0,0,-1)</math> pontokban metszi a ''z''-tengelyt, azért a földrajzi koordinátákban csak a <math>(0,0,1)</math> és a <math>(0,0,-1)</math> pontokban van koordináta-szingularitás. |
||
== Források == |
|||
* {{cite book |
|||
|author=Franz Embacher |
|||
|title=Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik |
|||
|edition=2. überarbeitete |
|||
|publisher=Vieweg+Teubner |
|||
|location=Wiesbaden |
|||
|date=2011 |
|||
|ISBN=978-3-8348-0948-3 |
|||
|pages=167 |
|||
|Online={{Google Buch |BuchID=N2bJrBZwCqoC |Seite=167 |Hervorhebung=Koordinatensingularität, Polarkoordinaten}}}} |
|||
* {{cite book |
|||
|author=[[Hans Jörg Dirschmid]] |
|||
|title=Tensoren und Felder |
|||
|edition=1. |
|||
|publisher=Springer |
|||
|location=Wien |
|||
|date=1996 |
|||
|ISBN=3-211-82754-4 |
|||
|pages=492 |
|||
|Online={{Google Buch |BuchID=HVGKLfBg_H8C |Seite=492 |Hervorhebung=Koordinatensingularität}}}} |
|||
* {{cite book |
|||
|author=Thomas Filk, Domenico Giulini |
|||
|title=Am Anfang war die Ewigkeit: auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit |
|||
|edition=1. |
|||
|publisher=Beck |
|||
|location=München |
|||
|date=2004 |
|||
|ISBN=3-406-52187-8 |
|||
|pages=243 |
|||
|Online={{Google Buch |BuchID=DULHJAIWSfQC |Seite=243 |Hervorhebung=Koordinatensingularität}}}} |
|||
==Fordítás== |
|||
{{fordítás|de|Koordinatensingularität}} |
|||
[[Kategória: Differenciálgeometria]] |
[[Kategória: Differenciálgeometria]] |
A lap 2023. november 18., 14:44-kori változata
A fizikában akkor beszélünk koordinátaszingularitásról, ha egy koordináta-rendszerben annak belső tulajdonságai miatt egy jól meghatározható pontnak legalább egy koordinátája nem egyértelmű. Például a Föld koordináta-rendszerében az Északi-sark és a Déli-sark földrajzi hosszúsága nem adható meg egyértelműen, mivel minden hosszúsági kör itt metszi egymást. Eltérően a fizikai szingularitásoktól, egy megfigyelő számára semmi különös nincs ezekben a pontokban, mivel ez csak a koordináta-rendszer sajátossága. Egy másik koordináta-rendszerben vagy nem léteznek, vagy máshol bukkannak fel.
Definíció
Egy pontban koordinátaszingularitás van, ha valamelyik koordináta nem egyértelmű; ez azonban egy másdik koordináta-rendszerre való áttéréssel megszüntethető.[1][2]
Leírás
A koordináta-rendszerekben különböző helyzetekben léphetnek fel koordinátaszingularitások. Például, ha nem lehet egyértelmű koordinátákat rendelni az térben egy dimenziós részsokaság vagy absztrakt részsokaság pontjaihoz, ahol , akkor ezekben a pontokban koordinátaszingularitás van. A koordinátaszingularitás természete felismerhető egy alkalmas koordináta-rendszer választásával, ahol ezeknek a pontoknak egyértelmű koordinátáik vannak. Ez lehet az euklideszi térben a Descartes-féle koordináta-rendszer, sokaságok esetén egy térkép. Ekkor van egy koordinátatranszformáció, hogy
ami azonban a koordinátaszingularitás miatt nem invertálható. Ha komponensenként differenciálható, ami az általában használt koordináta-rendszerekre teljesül, akkor a
Jacobi-mátrix a koordinátaszingularitásokban szinguláris, innen a koordinátaszingularitás név.
Példák
Polárkoordináta-rendszerben a sík pontjait az origótól mért távolság és helyvektorának az x tengely pozitív felével bezárt szöge határozza meg, ahol az origótól mért távolság és a helyvektor szöge. Polárkoordinátákról Descartes-koordinátákra így térhetünk át:
Az origóban koordinátaszingularitás van: ha , akkor a transzformáció eredménye független a szögkoordinátától. Polárkoordinátákban az origónak nincs egyértelmű ábrázolása.
A hengerkoordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszerből kapható háromdimenziós koordináta-rendszer. A két polárkoordinátához hozzávesszük a magasságot, -t harmadik koordinátaként. A transzformáció így bővül:
Ebben a hengerkoordináta-rendszerben az összes pontban koordinátaszingularitás van.
Gömbkoordináta-rendszerben a háromdimenziós tér pontjait egy origótól mért távolság, , és két szögkoordináta, és adja meg. Az átszámítás Descartes-koordinátákba:
A transzformáció a következő koordinátaszingularitásokat mutatja meg:
- Ha , akkor a pontok transzformációjának eredménye a pozitív z-tengelyen független a koordinátától.
- Ha , akkor a pont transzformációjának képe a negatív z-tengelyen független a koordinátától.
- Ha , akkor a transzformáció eredménye, az origó független a és koordinátáktól.
Emiatt gömbkoordinátákban a teljes z-tengely összes pontjának nincs egyértelmű ábrázolása.
Az rögzítéssel kapjuk a gömbi koordináta-rendszert, ami megegyezik a földrajzi koordináta-rendszerrel. Mivel az a gömbfelület két pontban, az és a pontokban metszi a z-tengelyt, azért a földrajzi koordinátákban csak a és a pontokban van koordináta-szingularitás.
Források
- Franz Embacher. Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik, 2. überarbeitete, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 167. o. (2011. június 5.)
- Hans Jörg Dirschmid. Tensoren und Felder, 1., Wien: Springer, 492. o. (1996. június 5.)
- Thomas Filk, Domenico Giulini. Am Anfang war die Ewigkeit: auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit, 1., München: Beck, 243. o. (2004. június 5.)
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatensingularität című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- ↑ Hans-Jürgen Schmidt. Einsteins Arbeiten in Bezug auf die moderne Kosmologie, 2. o. (2005)
- ↑ Einsteins Kosmos: Untersuchungen zur Geschichte der Kosmologie. Hilmar W. Duerbeck, Wolfgang R. Dick, 110. o. (2005)