Valószínűségi mező

A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy "kísérleteket") modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

Definíció

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke egy.

Legyen $\Omega$ tetszőleges halmaz, ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ σ-algebra és $P:{\mathcal {A}}\to [0,1]$ mérték, azaz

• $\emptyset \in {\mathcal {A}}$,
• minden $A\in {\mathcal {A}}$ halmaz esetén $\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$,
• minden $(A_{n})\subseteq {\mathcal {A}}$ halmazsorozat esetén $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$,
• $P(\emptyset )=0$, és
• minden $(A_{n})\subseteq {\mathcal {A}}$ páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén $P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})$,

ha $P(\Omega )=1$, akkor az $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük.

Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt $\Omega =\{1,2,3\}$. Az $\Omega$ alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektorának szögének a teljesszöghöz viszonyított nagysága adja meg

Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség tisztán axiomatikus alapokon mérhető, és nemcsak empirikusan, ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az alapgondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adják meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.

Elnevezések

Az $\Omega$ halmaz eseménytér.

Az $\omega \in \Omega$ elemeket kimeneteleknek, néha elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó eseményeket célszerű nevezni.

Az ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ $\scriptstyle \sigma$-algebra eseményalgebra.

Az $A\in {\mathcal {A}}$ halmazok események.

Az ${\overline {A}}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$ esemény az $A\in {\mathcal {A}}$ esemény komplementere.

Az $\Omega \in {\mathcal {A}}$ esemény biztos esemény, mert $P(\Omega )=1$.

Az $\emptyset \in {\mathcal {A}}$ esemény lehetetlen esemény, mert $P(\emptyset )=0$.

A $P:{\mathcal {A}}\to [0,1]$ mérték valószínűség.

Példák

Klasszikus valószínűségi mező

Legyen $\Omega$ véges halmaz, ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ és minden $A\in {\mathcal {P}}(\Omega )$ halmaz esetén $P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}$. Ekkor az $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),P)$ valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Diszkrét valószínűségi mező

Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis $\Sigma ={\mathcal {P}}(\Omega )$. Egyes szerzők eleinte lemondanak a σ-algebra bevezetéséről, és $(\Omega ,P)$ diszkrét valószínűségi mezőről írnak.

Geometriai valószínűségi mező

Legyen $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke $\lambda (\Omega )$ véges, ${\mathcal {A}}={\mathcal {L}}(\Omega )$ az $\Omega$ halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak $\scriptstyle \sigma$-algebrája és minden $A\in {\mathcal {L}}(\Omega )$ esemény esetén $P(A)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}$. Ekkor az $(\Omega ,{\mathcal {L}}(\Omega ),P)$ valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűségi változó