Új oldal, tartalma: „A matematikában a '''Csebisev polinomok''' olyan ortogonális polinom sorozatok, melyek kapcsolatban állnak a [[De Moivre-képlet|De Moivre képlettel]…”
A matematikában a Csebisev polinomok olyan ortogonális polinom sorozatok, melyek kapcsolatban állnak a De Moivre képlettel, és amelyeket rekurzív módon lehet definiálni. Nevüket Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus után kapták. Általában különbséget tesznek elsőfajú Csebisev polinomok (jelölés Tn), illetve másodfajú Csebisev polinomok között (jelölés Un).
A Tn, és az Un Csebisev polinomok n-ed fokúak, és bármelyik fajta Csebisev polinomok sorozata polinomsorozatot alkot.
A Tn Csebisev polinomok a lehető legnagyobb vezető együtthatóval rendelkeznek, figyelembe véve azt a tényt, hogy abszolút értékük a [-1,1] intervallumon kötve van az 1 által.
A Csebisev polinomok fontos szerepet játszanak a közelítő módszerek elméletében, mivel az elsőfajú Csebisev polninomok gyökeit, melyeket Csebisev csomópontoknak is hívnak, csomópontokként használják a polinomiális interpolációnál. Az így kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatásból származó problémát.
A differenciálegyenletek területén a Csebisev differenciálegyenletek megoldásaként találunk rájuk:
és
Az első egyenletből kapjuk Tn-t, míg a másodikból Un-t. Ezek az egyenletek a Sturm-Liouville differenciálegyenletek speciális esetei.
Definíciók
Az elsőfajú Csebisev polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:
A megszokott generátorfüggvény Tn-re:
Az exponenciális generátorfüggvény:
A kétdimenziós potenciálelmélet területén releváns generátorfüggvény:
A másodfajú Csebisev polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:
A megszokott generátorfüggvény Un-re:
Az exponenciális generátorfüggvény:
Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev polinomok között
Az első- illetve másodfajú Csebisev polinomok megfelelnek a Lucas sorozat egy kiegészítő párjának Ṽn(P,Q) és Ũn(P,Q), P = 2x és Q = 1 paraméterekkel:
Két kölcsönös rekurenciás összefüggést is kielégítenek:
Az első- illetve másodfajú Csebisevpolinomokat a következő összefüggések is összekapcsolják:
Explicit kifejezések
A Csebisev polinomok meghatározásának különböző megközelítései különböző explicit kifejezésekhez vezetnek, mint például:
ahol a szumma jel alapja azt jelzi, hogy a j=0 hozzájárulását felezni kell, ha megjelenik.
(1995) „A Note on Some Peculiar Nonlinear Extremal Phenomena of the Chebyshev Polynomials”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society38, 343–355. o. DOI:10.1017/S001309150001912X.
(1964) „The evaluation and estimation of the coefficients in the Chebyshev Series expansion of a function”. Math. Comp.18, 274–284. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7.
(1976) „Converting interpolation series into Chebyshev Series by Recurrence Formulas”. Math. Comp.30, 295–302. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3.