Univerzális osztály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Univerzális osztálynak nevezzük a halmazelméletben az összes halmaz osztályát. Alternatív elnevezések: univerzum, halmazuniverzum.) Bevett jelölése: \mathrm{V}. Meghatározása:

\mathrm{V}=\{ x|\,x=x\}

Szavakban: \mathrm{V} azon individuumok osztálya, amelyek azonosak önmagukkal. Mivel az x=x formula logikai igazság, minden individuum eleme a \mathrm{V} osztálynak.

A legtöbb halmazelméleti axiómarendszerben \mathrm{V} valódi osztály. Az ellenkező feltevés a Cantor-paradoxon néven ismert ellentmondásra vezetne. Kivételt képeznek az alábbi halmazelméletek, amelyekben az univerzális osztály halmaz, és eleme önmagának:

A jólfundált halmazelméletekben \mathrm{V} egybeesik a Russell-osztállyal. Ezekben az elméletekben a Russell-paradoxon is akadályozza, hogy a halmazok közé soroljuk.

Atomos halmazelméletekben a fenti meghatározás az összes individuum (halmaz és atom) osztályát vezeti be. Ha \mathrm{V}-t nem az összes individuum, hanem az összes halmaz osztályaként szeretnénk meghatározni, akkor az alábbi meghatározással kell élnünk:

\mathrm{V}=\{ x|\,\mathrm{m}(x)\}

(Itt \mathrm{m}(x) rövidíti azt, hogy x halmaz.)

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Th. Forster: Set Theories With a Universal Set: Exploring an Untyped Universe (Oxford Logic Guides 31). Oxford University Press, 1995.