New Foundations

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A New Foundations (NF) egy alternatív halmazelmélet. Legegyszerűbb változatában mindössze két kézenfekvő axiómából áll, amelyek nagyon hasonlítanak a naiv halmazelmélet két alapelvéhez. A ZF-hez hasonlóan az NF is számos változatban létezik; ezért aztán helyesebb elméletcsaládról beszélni. Legizgalmasabb sajátossága, hogy létezik benne univerzális halmaz, amelynek minden halmaz eleme, beleértve saját magát is.

Története[szerkesztés]

Eredeti változatát Willard Van Orman Quine publikálta 1937-es New Foundations for Mathematical Logic (A matematikai logika új megalapozása) című cikkében. Kezdeti népszerűségének rosszat tett, hogy Ernst P. Specker 1953-ban az NF axiómáiból cáfolta a kiválasztási axiómát. Ezzel az NF konzisztenciája is komolyan gyanúba került. Máig nyitott kérdés NF relatív konzisztenciája a standard matematikai elméletekhez képest. Ronald Jensen 1969-ben bebizonyította, hogy az NF atomos változatától, NFU-tól már független a kiválasztási axióma. Ráadásul kiderült, hogy ha a Peano-aritmetika konzisztens, akkor az NFU is az. Ezek a megnyugtató eredmények azonban már nem befolyásolták érdemben a New Foundations megítélését a matematikus társadalomban. Jelenleg aktív kutatói közül kiemelkedik Thomas Forster és Randall M. Holmes.

Nyelvi keretek[szerkesztés]

A New Foundations elméletcsalád a halmazelméletben szokásos azonosságjeles elsőrendű logikai nyelvet használja. Az eredeti NF elméletben az egyetlen primitív nem-logikai konstans a kétargumentumú relációjel. A változók értékei itt halmazok. Az atomos (urelementes) változatokban van még egy egyargumentumú halmazpredikátum is: . szándékolt jelentése: x halmaz. A változók megengedett értékei itt atomok és halmazok.

Formulák rétegzése[szerkesztés]

A komprehenziós axiómasémában használni fogjuk a rétegezhető formula fogalmát. Egy halmazelméleti formula rétegzése során az összes változóelőfordulást ellátjuk a 0, 1, 2 stb. számindexekkel a következő szabályok szerint:

(i) egyazon kvantor által kötött változóelőfordulások ugyanazt az indexet kapják;
(ii) a = szimbólum két oldalán szereplő változók ugyanazt az indexet kapják;
(iii) az szimbólum bal oldalán szereplő változó eggyel kisebb indexet kap, mint a jobb oldalán szereplő;
(iv) egyazon változó szabad előfordulásai ugyanazt az indexet kapják;

Egy formulát rétegezhetőnek mondunk akkor és csak akkor, ha változóelőfordulásai (i)-(iv) szerint indexezhetőek.

Példák rétegezhető formulákra:

eredeti formula rétegzett változat
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

Példák nem rétegezhető formulákra:

eredeti formula rétegzési kísérlet eredménye
(8)
(9)

NF axiómái[szerkesztés]

1. axióma (extenzionalitás) – Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik.
2. axióma (rétegzett komprehenzió) – Ha rétegezhető formula, akkor létezik egy y halmaz, melynek pontosan azok az x halmazok az elemei, melyekre teljesül.

Néhány halmazmeghatározás[szerkesztés]

A második axióma feljogosít bennünket a szokásos halmazabsztrakciós séma használatára, amennyiben rétegezhető formula.

elnevezés meghatározás
(1) univerzális halmaz
(2) üres halmaz
(3) párhalmaz
(4) unióhalmaz
(5) hatványhalmaz
(6) az n elemű halmazok halmaza
(7) egy halmaz egyelemű részhalmazainak halmaza

A paradoxonok kezelése[szerkesztés]

Szokásos halmazelméleti keretek között (ZF-ben vagy NBG-ben) az előző szakasz (1), (6), (7) meghatározásai valódi osztályokat vezetnének be. NF-ben ezek is halmazok. Mégsem lépnek fel a szokásos halmazelméleti paradoxonok:

  • a Russell-paradoxon azért nem, mert az formula nem rétegezhető, ezért nem vezethető be a Russell-halmaz;
  • a Cantor-paradoxon azért nem, mert a Cantor-tétel eredeti formájában nem bizonyítható;
  • a Burali-Forti-paradoxon azért nem, mert a Frege-rendszámok halmaza nem jólrendezett.

A Cantor-tétel[szerkesztés]

Valamely x és y halmazt ekvivalensnek (egyenlő számosságúnak) mondunk akkor és csak akkor, ha létezik egy olyan f halmaz, amely bijektív módon rendeli egymáshoz x és y elemeit:

A Cantor-tétel eredeti formája nem bizonyítható:

NF

A Cantor-tétel szokásos diagonális bizonyítása az alábbi tételhez vezet:

NF

Kissé zavarba ejtő módon nem bizonyítható azonban az alábbi – szokásos halmazelméleti kontextusban triviális – összefüggés:

NF

Az univerzális halmaz esetében ez ment meg bennünket a Cantor-paradoxontól. Ugyanis , tehát ellentmondás lenne.

Rendszámok és számosságok[szerkesztés]

NF-ben a szokásos Neumann-rendszámok és Neumann-számosságok nem definiálhatók (lásd például a fenti (9) formulát). Bevezethetők viszont a Frege-számosságok és Frege-rendszámok:

  • Egy x halmaz Frege-számossága az x-szel ekvivalens halmazok halmaza:
A fenti táblázat (6) sorában bevezetett halmazok a Frege-féle természetes számok.
  • Egy jólrendezett halmaz Frege-rendszáma a vele izomorf (egyazon rendtípusba tartozó) jólrendezett halmazok halmaza:

Irodalom[szerkesztés]

  • Th. Forster: Set Theory with a Universal Set. Clarendon, 19952 (19921).
  • R. M. Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set. Cahiers du Centre de logique 10. kötet. Academia, 1998.
  • R. Jensen: „On the consistency of a slight(?) modification of Quine's NF”. Synthese 19 (1969), 250-263.o.
  • W. V. O. Quine: „New foundations for mathematical logic”. The American Mathematical Monthly 44 (1937). 15-24.o. Újabb megjelenés in: Quine: From a Logical Point of View. Harvard UP, 19612 (19531). 81-101.o.
  • J. B. Rosser: „Set Theory for Mathematicians”. McGraw-Hill, 1953.
  • E. Specker: „The axiom of choice in Quine's new foundations for mathematical logic”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A. 39, 972-975.o.

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Stanford Encyclopedia of Philosophy szócikk
New Foundations-honlap
New Foundations-bibliográfia