A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A trigonometrikus területképlet egy tetszőleges háromszög területét két oldal hossza és a közrezárt szög szinusza segítségével fejezi ki.
A tétel bizonyítása
Fájl:Sint.JPG
1. hegyesszögű háromszög esetén (
hegyesszög):
2. tompaszögű háromszög esetén,
hegyesszög:
3. tompaszögű háromszög esetén,
tompaszög:
de
tompaszögű, tehát
Ekvivalens alak
Mivel sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), azért a trigonometrikus területképlet így is írható:
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4f11120a2c6a2af01b17a780ad167d8d4f6622)
Speciális esetek
Derékszögű háromszög
A derékszögű háromszög egyik befogóhoz tartozó magassága megegyezik a másik befogóval
Ha a és b egy derékszögű háromszög befogói, akkor a trigonometrikus területképlet a derékszögű háromszög területképletébe megy át:
,
mivelhogy a derékszög szinusza 1.
Egyenlő szárú háromszög
Az a szárú, b alapú egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága illeszkedik az alap felezőmerőlegesére, így a Pitagorasz-tétellel
, így
.
Egyenlő oldalú háromszög
60 fok szinusza
, ezt behelyettesítve az a oldalú egyenlő oldalú háromszög területe