Trapézszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A kék f(x) függvényt a piros lineáris függvény közelíti.

A matematikában a trapézszabály közelítő eljárás határozott integrálok meghatározására, melynek során egy függvénygörbe meghatározott intervallumba eső görbe alatti területét egy, a görbe által meghatározott trapéz területével helyettesíti. Infinitezimális változata, melynek során az intervallum felosztása minden határon túl finomodik, egy konkrét (nem közelítő) algoritmust jelent a határozott integrálok meghatározására.

Húrtrapézformula[szerkesztés]

Húrtrapéz

Itt a két végpontot összekötő húr alatti trapézzal helyettesítjük a görbe alatti területet:


Ha második deriváltja folytonos -n, akkor

Összetett húrtrapézformula[szerkesztés]

Összetett trapézformula

Hogy a közelítést pontosabbá tegyük, az integrálási tartományt kisebb, diszjunkt részintervallumokra bontjuk;

Legyen f értéke helyeken rendre , ekkor az integrál a következőképpen közelíthető:

speciálisan, ha a részintervallumok egyenlő hosszúak:

Érintőtrapézformula[szerkesztés]

Érintőtrapéz

Az érintőtrapézformula azzal a trapézzal közelíti a területet, melynek az egyetlen tengelyekkel nem feltétlen párhuzamos oldala tartalmazza az függvény gráfjának intervallum felezőpontjához tartozó pontját. Így:

,

ahol, ha második deriváltja folytonos -n, akkor

Algoritmus[szerkesztés]

A függvény, amit integrálni szeretnénk: , a intervallumon, 10-es felosztással.

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def TrapezIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a
    s=0.0
    for i in range(1,n,1):
        x=x+h
        s=s+Fx(x)
    return h*(s+(Fx(a)+Fx(b))/2)
print 'Trapezintegral:', TrapezIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 150.4715 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]


Források[szerkesztés]

  • Trapezium Rule
  • Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0.
  • Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245

Külső hivatkozások[szerkesztés]