Newton–Cotes-formula

A numerikus analízisben a Newton–Cotes-kvadratúraformulák (amiket Newton–Cotes-szabályoknak is neveznek) olyan képletek csoportja, amelyek numerikus integrálásra (más néven kvadratúrákra) szolgálnak, amik alapjául az integrálni kívánt intervallumot n+1 egyenlő távolságra (lépésközre) osztunk fel. Ezeket a módszereket Isaac Newtonról és Roger Cotesról nevezték el.

A Newton–Cotes-kvadratúraformulák nagyon hatékonyak, ha meghatározottak a függvényértékek az adott ekvidisztáns (egymástól egyenlő távolságra lévő) pontokban. Ha lehetséges más pontokban is meghatározni a függvény értékét, akkor vannak hatékonyabb, célszerűbb módszerek is az integrál kiszámítására, pl.: Gauss-kvadratúra és a Clenshaw–Curtis-kvadratúra.

Leírás

Feltesszük, hogy az f függvény értékeit ismerjük az egymástól egyenlő távolságra lévő (ekvidisztáns) x_i pontokban, ahol i = 0, …, n. A Newton–Cotes-kvadratúraformuláknak két típusát különböztetjük meg: a "nyitott" típus csak a belső alappontokkal ( x₁, x₂,…,x_n-1 ) számol, míg a "zárt" típus az intervallum kezdő- és végpontját is beleveszi (tehát az alappontok: x₀, x₁, x₂,…, x_n-1, x_n ). Az n-ed fokú Newton–Cotes-formula általános alakja:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})$

ahol x_i = h i + x₀, h (más néven lépésköz) egyenlő (x_n − x₀)/n-nel. w_i a súlyokat jelöli.

Ahogy az alábbiakban látható, a súlyozást a Lagrange-alappolinomokból kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a súlyok csak az x_i -től függnek, és nem az adott f függvény értékétől. Legyen L(x) a Lagrange interpolációs polinom megadott alappontjai (x₀, f(x₀) ), …, (x_n, f(x_n) ), akkor

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.$

A nyitott n-ed fokú Newton–Cotes-formula:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})$

A súlyokat hasonlóan kereshetjük meg, mint a zárt képletnél.

Instabilitás magas alappontszám esetén

A Newton–Cotes-kvadratúraformulákat minden n alappontra el lehet készíteni. Igaz ugyan, hogy a Newton-Cotes szabály alkalmazása magas alappontszám esetén néha a Runge-jelenséget vonhatja maga után, ahol a hibatag exponenciálisan növekszik. Más módszerek, mint a Gauss-kvadratúra és a Clenshaw–Curtis-kvadratúra ahol nem egyenlő a lépésköz (és a pontok az intervallum végpontjaiban torlódnak), sokkal stabilabbak, pontosabbak és elfogadottabbak, mint a Newton–Cotes-módszer. Ha ezeket a módszereket nem tudjuk használni, mert a függvényértékek csak ekvidisztáns (egyenlő lépésközű) pontokban ismertek, akkor a Runge-jelenséget az alábbiakban ismertetett összetett formulával lehet elkerülni.

Zárt Newton–Cotes-formulák

Ez a táblázat néhány zárt Newton–Cotes-formulát tartalmaz. Az $f_{i}$ az $f(x_{i})$. jelölést rövidíti.

Zárt Newton–Cotes-formulák

Fok/alappontok száma	Elnevezés	Képlet	Hibatag
1	Trapézszabály	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	Simpson-szabály	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	Simpson 3/8 szabály	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	Boole-szabály, vagy Bode-szabály (sic)	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$

Boole szabályát egy régebbi sajtóhiba miatt tévesen nevezik Bode szabályának, ami Abramowitz és Stegun egy korai kézikönyvében volt található.[1].

A lépésköz exponenciális növelése a hibatagban, a közelítés hibáját csökkenti. Az f függvény deriváltja a hibatagban megmutatja, hogy melyik polinomot lehet pontosan integrálni (ahol a hibatag egyenlő nullával). Minden második lépésnél a hibatag pontossága kettővel nő. A hibatag (ξ) a és b közé esik.

Nyitott Newton–Cotes-formulák

Az alábbi táblázat felsorol néhány nyitott Newton-Cotes kvadratúra formulát.

Nyitott Newton–Cotes-formulák

Fok/alappontok száma	Elnevezés	Képlet	Hibatag
0	Téglalapszabály	$2hf_{1}\,$	${\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$
1		${\frac {3h}{2}}(f_{1}+f_{2})$	${\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )$
2		${\frac {4h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {28h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$
3		${\frac {5h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95h^{5}}{144}}f^{(4)}(\xi )$

Összetett szabályok

Ahhoz, hogy a Newton–Cotes-szabály pontos értéket adjon, a h lépésköznek kicsinek kell lennie, ami azt jelenti, hogy az integrációs intervallumnak $[a,b]$ is kicsinek kell lennie, ami az esetek nagy részében nem fordul elő. Éppen ezért, a numerikus integrálást az adott $[a,b]$ intervallumon felosztják kisebb részintervallumokra, majd ezeken alkalmazzák a Newton–Cotes-szabályt, végül ezeken a részintervallumokon kapott eredményeket összegzik és kapják a végső eredményt. Ezt nevezzük összetett szabálynak, lásd Numerikus integrálás.

Hivatkozások

• M. Abramowitz és I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (lásd 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1977. (lásd 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (lásd 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (lásd 3.1.)

Külső hivatkozások

• Newton-Cotes formulas a www.math-linux.com-on
• Newton-Cotes Formulas
• Weisstein, Eric W.: Newton-Cotes Formulas (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Module for Newton-Cotes Integration