Simpson-módszer

A Simpson módszer lényegében az f (x) (kék) függvényt a P (x) (piros) függvénynyel közelíti .

A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$.

A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.

Levezetés

A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.

Középpont és trapéz szabály

Lényegében az

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx:$

az f (x) függvény x tengellyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:

$M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

és a trapéz-szabállyal:

$T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).$

A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:

${\frac {2M+T}{3}}.$

S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.

Algoritmus

A függvény, amit integrálni szeretnénk: $f(x)=e^{x}$, a $[0,5]$ intervallumon, 10-es felosztással.

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def SimpsonIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a+h
    s=0.0
    for i in range (1, n/2, 1):
        s=s+2*Fx(x)+Fx(x+h)
        x=x+2*h
    return h/3*(2*s+Fx(a)+Fx(b)+4*Fx(b-h))
print 'Simpsonintegral:', SimpsonIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 147.4628 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

3/8 Simpson-módszer

Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]={\frac {(b-a)}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right].$

Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.

Hivatkozások

• Atkinson, Kendall A. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
• Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis (7th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.{{cite book}}: CS1 karbantartás: több név: szerzőfelsorolás (link)
• Matthews, John H. (2004). "Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration". Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. 2008. december 4. dátummal az eredeti címről archiválva. Hozzáférés: 2008. november 11.
• Press, William H., Brian P. Flannery, William T. Vetterling, and Saul A. Teukolsky (1989). Numerical Recipes in Pascal: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. ISBN 0521375169.{{cite book}}: CS1 karbantartás: több név: szerzőfelsorolás (link)
• Süli, Endre and Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81026-4 (hardback), ISBN 0-521-00794-1 (paperback). {{cite book}}: Check |isbn= value: invalid character (súgó)CS1 karbantartás: több név: szerzőfelsorolás (link)
• Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2008). "Numerical Methods with Applications" (1st ed.)..
• Weisstein, Eric W. (2010). "Newton-Cotes Formulas". MathWorld--A Wolfram Web Resource. MathWorld. Hozzáférés: 2010. augusztus 2.

További információk

• Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule" (angol nyelven). Wolfram MathWorld.
• Simpson's Rule for Numerical Integration
• Application of Simpson's Rule - Earthwork Excavation
• Simpson's 1/3rd rule of integration - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple Archiválva 2006. szeptember 1-i dátummal a Wayback Machine-ben at Numerical Methods for STEM undergraduate Archiválva 2006. szeptember 6-i dátummal a Wayback Machine-ben