Simpson-módszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Simpson módszer lényegében az f (x) (kék) függvényt a P (x) (piros) függvénynyel közelíti .

A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:

.

A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.

Levezetés[szerkesztés]

A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.

Középpont és trapéz szabály[szerkesztés]

Lényegében az

az f (x) függvény x tengellyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:

és a trapéz-szabállyal:

A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:

S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.

Algoritmus[szerkesztés]

A függvény, amit integrálni szeretnénk: , a intervallumon, 10-es felosztással.

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def SimpsonIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a+h
    s=0.0
    for i in range (1, n/2, 1):
        s=s+2*Fx(x)+Fx(x+h)
        x=x+2*h
    return h/3*(2*s+Fx(a)+Fx(b)+4*Fx(b-h))
print 'Simpsonintegral:', SimpsonIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 147.4628 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

3/8 Simpson-módszer[szerkesztés]

Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:

Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.

Hivatkozások[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]