Topológiák összehasonlítása

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika topológia nevű ágában topológiák összehasonlításán azt értjük, hogy egy adott alaphalmazon értelmezett két topológia közül az egyiket a másiknál finomabbnak (vagy ekvivalens értelemben a másodikat az elsőnél durvábbnak) mondjuk.

Definíció[szerkesztés]

Legyen és topológia egyazon alaphalmazon. Ha , akkor azt mondjuk, hogy finomabb mint , illetve ekvivalens megfogalmazásban durvább mint .

Példák[szerkesztés]

  • Tetszőleges alaphalmazon a diszkrét topológia minden más topológiánál finomabb, az indiszkrét topológia minden más topológiánál durvább.
  • Az {1,2,3} alaphalmazon jelölje azt a topológiát, amely az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból áll. Jelölje továbbá azt a topológiát, amelynek az { }, {1}, {2}, {1,2} és {1,2,3} halmazokból áll. Akkor durvább -nél, és finomabb -nél.
  • Ugyanezen az alaphalmazon az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból álló illetve az {}, {2} és {1,2,3} halmazokból álló topológiák közül egyik sem finomabb vagy durvább a másiknál.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Legyen és topológia egyazon alaphalmazon úgy, hogy finomabb, mint . Akkor az topologikus térből az topologikus térbe vezető identikus leképezés folytonos, hiszen ilyenkor tetszőleges -beli nyílt halmaz ősképe beli nyílt halmaz.

Forrás[szerkesztés]

  • Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó. ISBN 963-10-6424-7 (1986)