Topológiák összehasonlítása

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika topológia nevű ágában topológiák összehasonlításán azt értjük, hogy egy adott alaphalmazon értelmezett két topológia közül az egyiket a másiknál finomabbnak (vagy ekvivalens értelemben a másodikat az elsőnél durvábbnak) mondjuk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \tau_1 és \tau_2 topológia egyazon X alaphalmazon. Ha \tau_1 \subset \tau_2, akkor azt mondjuk, hogy \tau_2 finomabb mint \tau_1, illetve ekvivalens megfogalmazásban \tau_1 durvább mint \tau_2.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tetszőleges alaphalmazon a diszkrét topológia minden más topológiánál finomabb, az indiszkrét topológia minden más topológiánál durvább.
  • Az {1,2,3} alaphalmazon jelölje \tau_1 azt a topológiát, amely az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból áll. Jelölje továbbá \tau_2 azt a topológiát, amelynek az { }, {1}, {2}, {1,2} és {1,2,3} halmazokból áll. Akkor \tau_1 durvább \tau_2-nél, és \tau_2 finomabb \tau_1-nél.
  • Ugyanezen az alaphalmazon az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból álló illetve az {}, {2} és {1,2,3} halmazokból álló topológiák közül egyik sem finomabb vagy durvább a másiknál.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \tau_1 és \tau_2 topológia egyazon X alaphalmazon úgy, hogy \tau_1 finomabb, mint \tau_2. Akkor az (X,\tau_1) topologikus térből az (X,\tau_2) topologikus térbe vezető identikus leképezés folytonos, hiszen ilyenkor tetszőleges \tau_2-beli nyílt halmaz ősképe \tau_1 beli nyílt halmaz.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó. ISBN 963-10-6424-7 (1986)