Thue–Siegel–Roth-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Thue–Siegel–Roth-tétel, más néven Roth-tétel az algebrai számok approximációjának alapvető tétele. E tétel azt állítja, hogy az algebrai számok nem közelíthetők túl sokféleképpen racionális számokkal, rosszul approximálhatók. Itt a jól, illetve a rosszul fogalmát több mint ötven évbe telt tisztázni Joseph Liouville-től (1844) kezdve, majd Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), és Klaus Roth (1955) is foglalkozott vele.

Állítás[szerkesztés]

A tétel azt állítja, hogy egy irracionális algebrai szám, approximációs kitevője egyenlő 2-vel, vagyis adott -ra az

egyenlőtlenségnek véges sok és relatív prím egész megoldása van, ahogy Siegel sejtette. Így minden irracionális α számra

ahol pozitív szám, ami csak -tól és -tól függ.

Diszkussziója[szerkesztés]

Az első eredmény Liouville tétele volt, ami approximációs kitevőt adott a legalább másodfokú α algebrai számra, ahol a szám foka megegyezik a minimálpolinomjának fokával. Ez már elég arra, hogy belássuk, hogy vannak transzcendens számok. Thue megállapította, hogy a szám fokánál, d-nél kisebb kitevő hasznos lenne a diofantoszi egyenlőtlenségek megoldásában, és a Thue-tételben (1909) a d/2 + 1 + ε kitevőt adta meg. Siegel ezt a kitevőt 2√d-re, Dyson √(2d)-re javította 1947-ben.

Roth eredménye, a 2+ε bizonyos értelemben a lehető legjobb, mert a fenti állítás nem működik ε = 0-val; Dirichlet approximációs tétele szerint ekkor végtelen sok megoldás van. Ennek ellenére Serge Lang felvetette azt a sejtést, hogy az

egyenletnek véges számú megoldása van p-ben és q-ban. Ha α végigfut az összes valós számon, a transzcendenseken is, akkor Roth és Lang következtetése majdnem minden α-ra fennáll. Így mindkét eredmény, a tétel és a sejtés is azt állítja, hogy egy nullmértékű halmaz kivételével mindenütt teljesül.

A tétel nem ad használható korlátokat adott α esetén p-re és q-ra.[1] Davenport és Roth (1955)[2] megmutatta, hogy Roth módszere alkalmas p/q becslésére. Azonban mivel C(ε)-t nem tudjuk kiszámítani, az egyenlet megoldása vagy a megoldásokra korlátok adása csak távoli cél lehet.

A bizonyítás módszere[szerkesztés]

A bizonyítás módszere egy több változós segédfüggvényt használ, ami ellentmondáshoz vezet túl sok túl jó approximáció esetén. Természeténél fogva nem hatásos. Felhasználható egyes diofantoszi egyenletek megoldásainak számának korlátozása.

Általánosításai[szerkesztés]

Magasabb dimenzióban Schmidt altér tétele. Más kiterjesztések használják például a p-adikus metrikát,[3] Roth módszerén alapulva.

LeVeque általánosította a módszert, hogy megmutassa, hasonló korlátok teljesülnek más számtestek fölött. Legyen H(ξ) a ξ algebrai szám magassága, azaz minimálpolinomjának együtthatóinak legnagyobb abszolút értéke! Legyen adva egy κ>2 szám! Ekkor egy adott α algebrai számra egy K testben az

egyenletnek véges sok megoldása van K-ban.[4]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ↑ Diophantine Geometry: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 344–345. o. (2000). ISBN 0-387-98981-1 
  2. ↑ (Davenport & Roth 1955)
  3. ↑ Ridout, D. (1958). „The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem”. Mathematika 5, 40–48. o.  
  4. ↑ LeVeque, William J.. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications, II:148–152. o. [1956] (2002). ISBN 978-0-486-42539-9 

Források[szerkesztés]

A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Thue–Siegel–Roth-tétel&oldid=24097833”