Szerkesztő:05storm26/Faktorizációs tétel

A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele amely a polinom-maradék tétel egy speciális esete.

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az $f(x)$ polinomnak osztója $(x-k)$ akkor és csak akkor ha $f(k)=0$ (vagyis ha $k$ egy gyöke az $f(x)$ polinomnak)

Polinomok faktorizációja

A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).

A tételt úgy alakalmazzák, hogy az ismert gyököket "kiemelik", így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:

1. "Tippelgetéssel" keressük meg az $f$ polinom egy gyökét, $a$-t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran, úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.)
2. A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy $(x-a)$ osztója $f(x)$-nek.
3. Számítsuk ki a $g(x)={\frac {f(x)}{x-a}}$ polinomot például polinomosztással.
4. Vegyük észre, hogy $f(x)=0$ bármely $x\neq a$ megoldása, megoldása a $g(x)=0$ egyenletnek. Mivel a $g$ polinom foka eggyel kissebb mint, $f$-é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú $g$ polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.

Példa

Faktorizáljuk a

$x^{3}+7x^{2}+8x+2.$

polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak $(x-1)$ a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e), $x=1$-et helyettesítünk a fenti polinomba:

$x^{3}+7x^{2}+8x+2=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2$

$=1+7+8+2$

$=18.$

Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy $(x-1)$ nem faktora az $x^{3}+7x^{2}+8x+2$-nek. Legyen a következő kísérletünk az $(x+1)$ (vagyis helyettesítsünk $x=-1$-et a polinomba):

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2.$

Mivel az eredmény most $0$, így $x-(-1)$, vagyis $x+1$, osztója a polinomnak, $-1$ pedig egy gyöke a $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ polinomnak.

A másik két gyököt megtalálhatjuk ha $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ elosztjuk polinomosztással $(x+1)$-gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.

${x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2$

így $(x+1)$ és $x^{2}+6x+2$ osztói a $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ polinomnak.

Általánosan

Legyen $f$ egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy $R$ kommutatív gyűrűből származnak és legyen $a\in R$. Ekkor $f(a)=0$ akkor és csak akkor, ha $f(x)=(x-a)g(x)$ valamely $g$ polinomra.

Ha adott egy $f$ polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott $a$ akkor $g$ kiszámítható polinomosztással, majd $f$ további gyökeit $g$ faktorizációjával kaphatjuk meg.