Szemilineáris leképezés

Egy szemilineáris leképezés a lineáris algebrában egy vektortér leképezése egy másik vektortérbe, aminek ugyanaz a skalárteste. A leképezés egy $\alpha$ testautomorfizmus erejéig különbözik a lineáris leképezéstől. Általánosabban, ferdetestek fölötti balvektorterek közötti leképezéseket tekintenek, amelyek ferdetest-monomorfizmus erejéig különböznek egy lineáris leképezéstől.

Minden lineáris leképezés szemilineáris. Megfordítva, egy $K$ test fölötti vektortér vagy balvektortér minden szemilineáris leképezése lineáris, ha a $K$ test merev, azaz nincs az identitástól eltérő automorfizmusa. Ilyenek például a valós számok mellett a prímtestek, a valósan zárt testek és az euklideszi testek. Egy szemilineáris forma egy vektortér szemilineáris leképezése skalártestébe, mint egydimenziós vektortérbe; vagy általánosabban, egy balvektortér szemilineáris leképezése skalárferdetestébe.

Rögzített bázis esetén egy szemilineáris leképezés egyértelműen felbontható egy lineáris leképezés és egy összes koordinátára elvégzett testautomorfizmus egymásutánjára.

A szűkebb értelemben vett geometrián kívüli alkalmazásokban, mint például a szeszkvilineáris formáknál, a legfontosabb esetek a komplex terek közötti leképezések, az automorfizmus a komplex konjugálás. Projektív terekben a szemilineáris leképezés nem lehet lineáris.

A szintetikus geometriában minden szemilineáris leképezés egy egyenestartó leképezés (kollinearitás) homogén részének ábrázolása egy legalább kétdimenzisós, desargues-i, egyenesenként több, mint két ponttal bíró affin geometriában; illetve egy legalább kétdimenziós, desaruges-i projektív geometria egy projektív geometriára vett leképezésének mátrixábrázolása, amennyiben mindkét tér rögzített koordináta-rendszerrel van ellátva. Itt az $\alpha$ morfizmus származhat a ferdetest-monomorfizmus definíciójából és ábrázolásából, tehát ferdetestek közötti injektív gyűrűhomomorfizmusból. A képtér lehet egy $L$-balvektortér egy bővebb $L$ ferdetest fölött, és az értékkészlet egy $K$ test fölött, ami izomorf egy $\alpha (K)<L$ résztestével.

Egy legalább kétdimenziós, desargues-i, affin vagy projektív tér bijektív, szemilineáris önleképezései ebben az értelemben éppen ezeknek a tereknek a kollineációinak a mátrixábárolásai, eltekintve egy ferdetest-automorfizmustól.