Szűrő (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A halmazelméletben szűrőnek (vagy idegen szóval filternek) nevezzük egy halmaz részhalmazainak olyan családját, amely nemüres, felszálló és a véges metszet képzésére zárt. A szűrőket széles körben alkalmazza a topológia, és kézenfekvő általánosításuk van a hálóelméletben.

Definíció[szerkesztés]

Legyen egy nemüres halmaz, jelölje a halmaz összes részhalmazának halmazát, és legyen . tehát részhalmazainak egy családja. szűrő a halmzon, ha eleget tesz az alábbi feltételeknek.

  1. nemüres:
  2. felszálló, azaz és esetén .
  3. zárt a véges metszet képzésére, azaz esetén

Példák szűrőkre[szerkesztés]

Triviális példa szűrőre a fenti hatványhalmaz.

Szűrőt alkot a számegyenes összes olyan részhalmaza, amely tartalmazza a [0,1] intervallumot.

Tekintsük a természetes számok olyan részhalmazait, amik az alaphalmazból véges számú elem elhagyásával keletkeznek. Ezek a halmazok szintén szűrőt alkotnak.

Forrás[szerkesztés]

Steen, Lynn A., J. Arthur Seebach. Counterexamples in Topology, Second edition (angol nyelven), New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90312-7 (1978)