Szűrő (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A halmazelméletben szűrőnek (vagy idegen szóval filternek) nevezzük egy halmaz részhalmazainak olyan családját, amely nemüres, felszálló és a véges metszet képzésére zárt. A szűrőket széles körben alkalmazza a topológia, és kézenfekvő általánosításuk van a hálóelméletben.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen H egy nemüres halmaz, jelölje P(H) a H halmaz összes részhalmazának halmazát, és legyen F \subset P(H). F tehát H részhalmazainak egy családja. F szűrő a H halmzon, ha eleget tesz az alábbi feltételeknek.

  1. F nemüres: F \neq \emptyset
  2. F felszálló, azaz A \in F és A \subset B \subset H esetén B \in F.
  3. F zárt a véges metszet képzésére, azaz A,B \in F esetén A \cap B \in F

Példák szűrőkre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Triviális példa szűrőre a fenti P(H) hatványhalmaz.

Szűrőt alkot a számegyenes összes olyan részhalmaza, amely tartalmazza a [0,1] intervallumot.

Tekintsük a természetes számok olyan részhalmazait, amik az alaphalmazból véges számú elem elhagyásával keletkeznek. Ezek a halmazok szintén szűrőt alkotnak.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Steen, Lynn A., J. Arthur Seebach. Counterexamples in Topology, Second edition (angol nyelven), New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90312-7 (1978)