Számtani-mértani sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Számtani–mértani sorozat szócikkből átirányítva)
Jump to navigation Jump to search

A matematikában a számtani-mértani sorozatok (angolul: arithmetico–geometric sequence) olyan sorozatok, amelyek valamilyen módon általánosítják a számtani és mértani sorozatokat.

A név kétértelműsége[szerkesztés]

Mivel az általánosítás nem csak egyféleképpen tehető meg, ezért ezen név alatt több dolog is érthető. Az angol és amerikai szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok, azaz az arithmetico–geometric sorozatok, egy számtani és egy mértani sorozat tagonkénti összeszorzásának eredményei. Ezzel szemben a francia szakirodalomban ugyanezen név (suite arithmético-géométrique) alatt egy bizonyos lineáris rekurziót teljesítő sorozatokat értenek.

Angol értelmezés[szerkesztés]

Az angol szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy számtani és egy mértani sorozat tagonkénti összeszorzásának eredményei. Azaz egy számtani-mértani sorozat n-edik tagja egy számtani sorozat n-edik és egy mértani sorozat n-edik tagjának szorzata. A matematika különböző területein megjelennek az ilyesféle sorozatok, például a valószínűségszámításon belül bizonyos várható érték problémáknál. Például, a

sorozat egy ilyen sorozat. A számtani komponens a számlálóban jelenik meg (kékkel jelölve), míg a mértani rész a nevezőben található (zölddel jelölve).

A sorozat tagjai[szerkesztés]

Egy a kezdőértékű, d különbségű számtani sorozat (kékkel jelölve); és egy b kezdőértékű, q hányadosú mértani sorozat (zölddel jelölve) tagonkénti összeszorzásából adódó sorozat első pár tagja a következőképpen alakul:[1]

Tagok összege[szerkesztés]

Egy számtani-mértani sorozat első n tagjának összege

a következő zárt képletek valamelyikével számítható:

Levezetés[szerkesztés]

A következőkben az első képlet levezetése következik. Mivel b mint szorzótényező minden tagban megtalálható, ezért elég csak a végén megszorozni az összeget b-vel, hogy a b értékét figyelembe vegyük, így a továbbiakban feltételezzük, hogy b = 1.

A két egyenletet egymásból kivonva azt kapjuk, hogy

majd az utolsó sort átrendezve megkapjuk, hogy

Végtelen sorként[szerkesztés]

Az első n tag összegképletéből látható, hogy akkor konvergens egy végtelen számtani-mértani sor, ha |q| < 1, ekkor a határértéke

Ha nem teljesül a |q| < 1 feltétel, akkor a sorozat

  • alternáló, ha q ≤ 1;
  • divergens, ha 1 ≤ q és a és d nem nulla; ha a és d nulla, akkor a sor összege 0.

Példa alkalmazás: várható érték érmefeldobásnál[szerkesztés]

Az által meghatározott számtani-mértani sorozat,

megfelel az első "írás" dobásához szükséges dobások várható számának. Annak az esélye, hogy a k-adik dobáskor dobunk először írást,

Azaz a várható dobások száma az első íráshoz,

Francia értelmezés[szerkesztés]

A francia szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy lineáris rekurzív relációt teljesítenek, ezáltal általánosítva a számtani és mértani sorozatokat.

Definíció[szerkesztés]

Egy számtani-mértani sorozat a következő lineáris rekurzív relációval definiálható:

ahol az első tag, q és d adott.

Ha q = 1, akkor a sorozat egy számtani sorozatra, ha pedig d =0, akkor mértani sorozatra redukálódik.

Emiatt a továbbiakban csak a q ≠ 1 esettel foglalkozunk.

A sorozat tagjai[szerkesztés]

Először is legyen és a továbbiak megkönnyítése érdekében. Ahhoz, hogy ezen rekurzióhoz zárt képletet találjuk, a következő ötletet alkalmazhatjuk: tekintsük a sorozat tagjait q számrendszerbeli számoknak. Noha nem feltétlenül kapunk érvényes q számrendszerbeli számokat (hiszen A és D lehet nagyobb, mint q), ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük egy adott és tag ábrázolását, és rögtön megkapjuk a zárt képletet. Ekkor a tagok ábrázolása q számrendszerben a következőképpen alakul:

Ez azért működik, mert a rekurzív képletben a q-val való szorzásnak olyan hatása van, mintha q számrendszerben egy helyiértékkel minden számjegyet balra toltunk volna. A d hozzáadása pedig felfogható hozzáadásaként, azaz tulajdonképpen az "egyesek" helyére szúrunk be d-t.

Mivel látható, hogy az n-edik tag pontosan n darab q számrendszerbeli számjegyből áll, amelyek közül a legnagyobb helyiértéken A, a többin mind D áll, ezért n-edik tag felírható a következőképpen:

Tagok összege[szerkesztés]

Miután tudjuk, hogy hogyan fejezzük ki a sorozat n-edik tagját, már könnyen felírhatjuk az első n tag összegét.

A két oldalt összeadva:

Alkalmazás[szerkesztés]

Számtani-mértani sorozatokkal modellezhetőek például populációk (konstans beáramlás, arányos fogyás stb.). Ha például egy városból minden évben elvándorol a lakosság tíz százaléka, de év végén mindig betelepítenek ezer embert, akkor a következő sorozattal modellezhető a város lakossága:

Ha eredetileg 50 000 fő volt az első év végén, akkor könnyen kiszámítható, hogy a ötvenedik év végén körülbelül 10 230 ember fog élni a városban.

Megtalálhatóak pénzügyi kontextusban is: t százalékos havi kamatra felvett C összeg esetén, havi M összeg befizetése mellett, a befizetendő összeg a következő sorozattal modellezhető (befizetés előtti kamatszámítást feltételezve):

Ez alapján gyorsan kiszámítható, hogy a felvett 50 000 forint törlesztése, havi 4%-os kamatra és havi 5000 forint befizetése mellett 15 hónap alatt lehetséges.

Felfedezhetőek még kétállapotú Markov-láncokban is. Ekkor a sztochasztikus mátrix a következőféleképpen felírható:

Mivel

ebből kifolyólag

Viszont

ezért

amely az explicit képlet segítségével egyszerűen számítható tetszőleges n értékre.

Fordítás[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Mathematical methods for physics and engineering, 3rd, Cambridge University Press, 118. o. (2010). ISBN 978-0-521-86153-3