„Riccati-féle differenciálegyenlet” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Bot: következő módosítása: zh:Riccati方程 |
a kozmetikai javítások |
||
53. sor: | 53. sor: | ||
új ismeretlen függvény bevezetésével ui. lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható. |
új ismeretlen függvény bevezetésével ui. lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható. |
||
[[Kategória: |
[[Kategória:Analízis]] |
||
[[en:Riccati equation]] |
[[en:Riccati equation]] |
A lap 2008. augusztus 21., 20:16-kori változata
Az
- (1)
elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük.
Ha , akkor lineáris, ha , akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.
Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg,
de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen
partikuláris megoldása,
akkor az
új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános megoldás is előállítható.
Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk.
Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása
- ,
akkor fennáll az
- (2)
azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát:
- ,
és vezessük be az
új ismeretlen függvényt, akkor a
alak áll elő. Rendezve
- (3)
egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az
új ismeretlen függvény bevezetésével ui. lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.