„Kihajlás” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
46. sor: | 46. sor: | ||
</math>, |
</math>, |
||
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto" |
|||
⚫ | |||
|+ '''Törőfeszültség számítása |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- bgcolor=#a0e0a0 |
|||
! Anyag || Szakítószilárdság || III. szakasz || λ<λ<sub>f</sub> || II. szakasz || λ<sub>f</sub> <λ< λ<sub>e</sub> || I. szakasz |
|||
! style="background:#efefef;" rowspan="2" align=center | Anyag |
|||
⚫ | |||
! style="background:#efefef;" rowspan="2" align=center | [[Szakítószilárdság]] <br> [[MPa]] |
|||
! style="background:#efefef;" colspan="2" align=center | III. szakasz λ<λ<sub>f</sub> |
|||
⚫ | |||
! style="background:#efefef;" colspan="2" align=center | II. szakasz λ<sub>f</sub> <λ< λ<sub>e</sub> |
|||
|| [[0 (szám)|Nulla]] |
|||
! style="background:#efefef;" rowspan="2" align=center | I. szakasz <br> λ>λ<sub>c</sub> <br> σ<sub>t</sub> [[MPa]] |
|||
|| '''Ált''' |
|||
⚫ | |||
| align=right | [[i. e. 7.század]]-[[i. e. 5. század]] |
|||
⚫ | |||
|- |
|- |
||
! style="background:#efefef;" align="center"| σ<sub>t</sub> = σ<sub>f</sub> <br> [[MPa]] |
|||
! style="background:#efefef;" align="center"| λ<sub>f</sub> |
|||
|| ≈ 0,5 |
|||
! style="background:#efefef;" align="center"| σ<sub>t</sub> = a - bλ <br> [[MPa]] |
|||
|| [[Landau állandó]] |
|||
! style="background:#efefef;" align="center"| λ<sub>c</sub> |
|||
|| '''Ana''' |
|||
| |
|- |
||
|| |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
| rowspan="3" align=center |[[Acél|Szénacél]] |
|||
⚫ | |||
| align=center | 240 |
|||
| align=center | 60 |
|||
| align=center | 308-1,14λ |
|||
| align=center | 105 |
|||
| align=center | <math>\frac {1441^2}{\lambda^2} </math> |
|||
⚫ | |||
| align=center | 480 |
|||
| align=center | 310 |
|||
| align=center | 60 |
|||
| align=center | 467-1,62λ |
|||
| align=center | 100 |
|||
| align=center | <math>\frac {1432^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|- |
|||
| align=center | 520 |
|||
| align=center | 360 |
|||
| align=center | 60 |
|||
| align=center | 589-3,82λ |
|||
| align=center | 100 |
|||
| align=center | <math>\frac {1432^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|- |
|||
| align=center |Ötvözött [[acél]] |
|||
| align=center | 650 |
|||
| align=center | 420 |
|||
| align=center | 22 |
|||
| align=center | 470-2,30λ |
|||
| align=center | 86 |
|||
| align=center | <math>\frac {1419^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|- |
|||
| align=center | [[Alumínium|Dúralumínium]] |
|||
| align=center | 420 |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
| align=center | 380-2,20λ |
|||
| align=center | 50 |
|||
| align=center | <math>\frac {820^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|- |
|||
| align=center | [[Öntöttvas]] |
|||
| align=center | - |
|||
| align=center | - |
|||
| align=center | 5 |
|||
| align=center | 776-12λ+0,053λ² |
|||
| align=center | 80 |
|||
| align=center | <math>\frac {997^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|- |
|||
| align=center | [[Fenyőfa]] |
|||
| align=center | - |
|||
| align=center | - |
|||
| align=center | 0 |
|||
| align=center | 30-0,2λ |
|||
| align=center | 100 |
|||
| align=center | <math>\frac {316^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|- |
|||
| align=center | [[Tölgyfa]] |
|||
| align=center | - |
|||
| align=center | - |
|||
| align=center | 0 |
|||
| align=center | 37,5-0,25λ |
|||
| align=center | 100 |
|||
| align=center | <math>\frac {354^2}{\lambda^2} </math> |
|||
|} |
|} |
||
⚫ | |||
--> |
--> |
A lap 2008. július 16., 10:43-kori változata
Kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú (karcsú) egyenes rudak tengelyükbe eső megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik. Ha a nyomoerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritkus értéknél, a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. A kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti egyenes helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.
Euler képlete
Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:
- ,
ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I2 a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az Ft törőerő és az y kitérés szorzata:
- .
Végül, ha bevezetjük az
jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:
- .
Ennek az egyenletnek az általános megoldása:
- ,
ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,
- és , így
- és
- .
Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha . Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:
- .
Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlat azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:
- ,
ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.
A gyakorlatban a törést okozó σt nyomófeszültséget szokás számolni:
- ,
ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:
- ,
és bevezetve a
- ,
karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:
- ,
Tetmajer képlete
A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kisérletei szerint a λ - σt diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:
- ,
Anyag | Szakítószilárdság MPa |
III. szakasz λ<λf | II. szakasz λf <λ< λe | I. szakasz λ>λc σt MPa | ||
---|---|---|---|---|---|---|
σt = σf MPa |
λf | σt = a - bλ MPa |
λc | |||
Szénacél | 370 | 240 | 60 | 308-1,14λ | 105 | |
480 | 310 | 60 | 467-1,62λ | 100 | ||
520 | 360 | 60 | 589-3,82λ | 100 | ||
Ötvözött acél | 650 | 420 | 22 | 470-2,30λ | 86 | |
Dúralumínium | 420 | - | 0 | 380-2,20λ | 50 | |
Öntöttvas | - | - | 5 | 776-12λ+0,053λ² | 80 | |
Fenyőfa | - | - | 0 | 30-0,2λ | 100 | |
Tölgyfa | - | - | 0 | 37,5-0,25λ | 100 |
Forrás
- Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN: 963 10 359 13
- Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.