Kihajlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú egyenes rúd tengelyébe eső, megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik.

Ha a nyomóerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritikus értéknél a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. Kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.

Euler képlete[szerkesztés]

Kihajló rúd

Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:

,

ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az Ft törőerő és az y kitérés szorzata:

.

Végül, ha bevezetjük az

jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:

.

Ennek az egyenletnek az általános megoldása:

,

ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,

és , így
és
.

Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha . Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:

.

Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:

,

ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.

Wsp-wyb.JPG

A gyakorlatban a törést okozó σt nyomófeszültséget szokás számolni:

,

ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:

,

és bevezetve a

,

karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:

,

Tetmajer képlete[szerkesztés]

Törőfeszültség a karcsúság függvényében

A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A σF folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kísérletei szerint a λ - σt diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:

,
Törőfeszültség számítása
Anyag Szakítószilárdság
MPa
III. szakasz λ<λF II. szakasz λF <λ< λe I. szakasz
λ>λe
σt MPa
σt = σF
MPa
λf σt = a - bλ
MPa
λe
Szénacél 370 240 60 308-1,14λ 105
480 310 60 467-1,62λ 100
520 360 60 589-3,82λ 100
Ötvözött acél 650 420 22 470-2,30λ 86
Dúralumínium 420 - 0 380-2,20λ 50
Öntöttvas - - 5 776-12λ+0,053λ² 80
Fenyőfa - - 0 30-0,2λ 100
Tölgyfa - - 0 37,5-0,25λ 100

Forrás[szerkesztés]

  • Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások[szerkesztés]