„Szabad csoport” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Idézőjel magyarosítás. |
vessző a helyére, idézőjel, fogalmazás |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
A [[matematika|matematikában]] |
A [[matematika|matematikában]] a ''G'' [[csoport]] '''szabad csoport,''' ha létezik egy olyan ''S'' [[részhalmaz]]a ''G''-nek, hogy ''G'' minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel ''S'' elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a ''st<sup>-1</sup>'' = ''su<sup>-1</sup>ut<sup>-1</sup>'' jellegű „bővítésektől” eltekintünk.) |
||
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a [[szabad Abel-csoport]]. |
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a [[szabad Abel-csoport]]. |
A lap 2007. december 22., 23:22-kori változata
A matematikában a G csoport szabad csoport, ha létezik egy olyan S részhalmaza G-nek, hogy G minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a st-1 = su-1ut-1 jellegű „bővítésektől” eltekintünk.)
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a szabad Abel-csoport.
Konstrukció
Az szabad csoport S generátorhalmazzal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: Nevezzük szónak az S elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha S={a, b, c}, akkor az alábbi például egy szó:
Ha egy elem közvetlenül az inverze mellett szerepel, akkor a szó leegyszerűsíthető az s, s-1 pár elhagyásával:
Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor redukáltnak nevezik. Az FS szabad csoport ekkor definiálható az összes S-ből származtatott redukált szó összességeként.
Elemi tulajdonságok
A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik:
- Minden G csoport valamely F(S) szabad csoport homomorf képe, ahol S a generátorhalmaz. A természetes leképezés epimorfizmus. Ebből következik az állítás.
- Ha S több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor F(S) nem kommutatív, azaz nem Abel-csoport.
- Két F(S), F(T) szabad csoport akkor és csak akkor izomorf, ha S és T számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport rangjának is. Így tehát minden k számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik.