Részbenrendezett halmaz

A matematikában részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak) nevezünk egy halmazt, ha definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés, azaz egy reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív reláció. Részbenrendezett halmazok esetében tehát nem követeljük meg, hogy az alaphalmaz bármely két eleme összehasonlítható legyen.

Definíció

Az $(A;\leq )$ részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha $A$ tetszőleges halmaz, $\leq$ pedig $A$-n értelmezett részbenrendezés, azaz tetszőleges $a,b,c\in A$ elemekre teljesülnek a következők:

I) $a\leq a$

II) ha $a\leq b$ és $b\leq a$, akkor $a=b$

III) ha $a\leq b$ és $b\leq c$, akkor $a\leq c$

Példák

• A természetes számok halmazán értelemezett oszthatóság reláció részbenrendezés.
• Definíció szerint minden rendezett halmaz részbenrendezett.

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, 1954
• Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1959

Külső hivatkozások

• Partially Ordered Set a MathWorld oldalán