„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Példa: a bizonyítás befejezése |
→Példa: Források |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
Hasonlóan, ha tetszőleges megoldás helyett a legkisebb megoldásból indulunk ki, akkor a kisebb megoldás létezése megcáfolja annak legkisebb voltát. Érvelhetünk úgy is, hogy minden <math>y_1<y</math>-hoz is készíthető kisebb ''y'', tehát készíthető ''y''-oknak végtelen <math>y>y_1 >y_2 >y_3>\ldots</math> sorozata, ami a természetes számok alulról korlátos volta miatt lehetetlen, tehát ismét ellentmondáshoz jutunk. |
Hasonlóan, ha tetszőleges megoldás helyett a legkisebb megoldásból indulunk ki, akkor a kisebb megoldás létezése megcáfolja annak legkisebb voltát. Érvelhetünk úgy is, hogy minden <math>y_1<y</math>-hoz is készíthető kisebb ''y'', tehát készíthető ''y''-oknak végtelen <math>y>y_1 >y_2 >y_3>\ldots</math> sorozata, ami a természetes számok alulról korlátos volta miatt lehetetlen, tehát ismét ellentmondáshoz jutunk. |
||
==Források== |
|||
* "Das kleine Einmaleins des klaren Denkens: 22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben" von Christian Hesse, Verlag: Beck; Auflage: 2 (14. Mai 2009) |
|||
* [http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=203 Matroids Matheplanet: A végtelen leszállás] |
|||
[[en:Proof by infinite descent]] |
|||
[[ar:نزول غير منته]] |
|||
[[ca:Mètode del descens infinit]] |
|||
[[de:Unendlicher Abstieg]] |
|||
[[es:Descenso infinito]] |
|||
[[fr:Méthode de descente infinie]] |
|||
[[he:נסיגה אינסופית]] |
|||
[[it:Discesa infinita]] |
|||
[[ja:無限降下法]] |
|||
[[ko:무한강하법]] |
|||
[[nl:Bewijs door oneindige afdaling]] |
|||
[[ru:Метод бесконечного спуска]] |
|||
[[zh:无穷递降法]] |
|||
[[Kategória:Matematikai logika]] |
[[Kategória:Matematikai logika]] |
A lap 2012. november 30., 21:32-kori változata
A végtelen leszállás' egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden részhalmazának van legkisebb eleme. A módszert Pierre de Fermat fejlesztette ki, és sok eredményéhez ezzel a módszerrel jutott el. A nagy Fermat-tétel n = 4-hez tartozó speciális esete például belátható végtelen leszállással.
Általános eljárás
Az érvelés indirekt, tehát feltesszük, hogy a bizonyítandó állítás nem igaz, vagyis hogy a szóban forgó egyenlet megoldható a természetes számok halmazán. Tudjuk, hogy a természetes számok minden részhalmazának van legkisebb eleme, ezért ha minden feltételezett megoldásból újabb, természetes számokból álló megoldást tudunk készíteni, akkor ellentmondást kaptunk, és a szóban forgó egyenlet nem oldható meg a természetes számok halmazán.
Másként, az egyenlet megoldáshalmazának is van legkisebb eleme, mivel a megoldáshalmaz a természetes számok halmazának része. Ebből készítünk egy még kisebb megoldást a feladat és a természetes számok tulajdonságainak felhasználásával. Ez ellentmond annak, hogy a legkisebb megoldásból indultunk ki, tehát az egyenlet megoldhatatlan.
A megoldhatatlanság induktív bizonyítása
Tegyük fel, hogy egy legkisebb megoldásból tudunk még kisebb megoldást csinálni! Ezen nyugszik a végtelen leszállás alapelve, és amihez konkrét bizonyítás szükséges.
- Az indukció megkezdése: A legkisebb megoldás nem lehet a 0, mert akkor lenne a 0-nál kisebb természetes szám. Mivel nincs ilyen szám, ezért ellentmondásra jutottunk.
- Az indukciós feltevés: Feltesszük, hogy már minden k ≤ k0-ra bizonyítva van, hogy nem lehet legkisebb megoldás.
- Az indukciós lépés: Mivel k0 nem lehet a legkisebb megoldás, ezért annak a k ≤ k0 számok között kell lennie. Ez ellentmond az indukciós feltevésnek.
Tehát a legkisebb megoldás nem létezik, így semmilyen megoldás nincs, tehát az egyenlet megoldhatatlan.
Példa
Állítás: A 2 négyzetgyöke irracionális.
pozitív. Feltesszük indirekt, hogy racionális, tehát vannak olyan természetes számok, hogy . Négyzetre emelve kapjuk az egyenletet, aminek megoldásai az természetes számok. Állítjuk, hogy egy adott megoldásból készíthető egy megoldás, ami abban az értelemben kisebb, hogy .
Az egyenlőtlenség miatt , tehát is természetes szám. Hasonlóan, miatt , és így szintén természetes szám. Emellett még is teljesül.
Az egyenlet felhasználásával: tehát is megoldása az egyenletnek.
Tudjuk, hogy ha az egyenlet megoldható, akkor van olyan megoldás is, amiben y minimális. Azonban ahogy láttuk, ilyen nincs, mert tetszőleges megoldásból lehet kisebbet készíteni. Eszerint a racionális volta nem állja meg a helyét, tehát irracionális.
Hasonlóan, ha tetszőleges megoldás helyett a legkisebb megoldásból indulunk ki, akkor a kisebb megoldás létezése megcáfolja annak legkisebb voltát. Érvelhetünk úgy is, hogy minden -hoz is készíthető kisebb y, tehát készíthető y-oknak végtelen sorozata, ami a természetes számok alulról korlátos volta miatt lehetetlen, tehát ismét ellentmondáshoz jutunk.
Források
- "Das kleine Einmaleins des klaren Denkens: 22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben" von Christian Hesse, Verlag: Beck; Auflage: 2 (14. Mai 2009)
- Matroids Matheplanet: A végtelen leszállás