„Bernoulli-féle differenciálegyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
átrendez |
Nincs szerkesztési összefoglaló Címkék: Visszaállítva VisualEditor: átváltott |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
'''Bernoulli-féle differenciálegyenlet'''nek nevezzük azt a közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű (<math>y \neq0</math>), nemlineáris [[differenciálegyenlet]]et, mely |
'''Bernoulli-féle differenciálegyenlet'''nek nevezzük azt a közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű (<math>y \neq0</math>), nemlineáris [[differenciálegyenlet]]et, mely |
||
:<math>y'+ p(x)y = r(x)y^n\,</math>, ahol <math>n\in \ |
:<math>y'+ p(x)y = r(x)y^n\,</math>, ahol <math>n\in \R, n\geq2</math> (1) vagy <math>\frac{y'}{y^{n}} + \frac{p(x)}{y^{n-1}} = r(x)</math> (1*) alakokban írható fel. |
||
Az <math>y^{1-n}\ = z(x)\,</math>új ismeretlen függvény bevezetésével kapjuk, hogy: |
Az <math>y^{1-n}\ = z(x)\,</math>új ismeretlen függvény bevezetésével kapjuk, hogy: |
A lap 2023. szeptember 27., 21:28-kori változata
Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük azt a közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű (), nemlineáris differenciálegyenletet, mely
- , ahol (1) vagy (1*) alakokban írható fel.
Az új ismeretlen függvény bevezetésével kapjuk, hogy:
- .
Az (1*) egyenlet a behelyettesítés után az
alakot veszi fel, amely a függvényre nézve már elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása a következő:
- .
Így tehát az (1) differenciálegyenlet általános megoldása:
- , (2)
ha n>0, akkor az y=0 függvény is megoldása (1)-nek.
Az egyenletet Jakob Bernoulliról (1655–1705) nevezték el.