Smoluchowski-féle koagulációs egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Smoluchowski-féle koagulációs egyenlet egy integrodifferenciál-egyenlet, amely megadja valamely {x}\, egységből álló komplex (továbbiakban {x}\,-mer) képződésének reakciósebességi állandóját bizonyos körülmények fennállása esetén. Az egyenletet Marian Smoluchowski lengyel fizikus publikálta 1916-ban.

Feltételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Smoluchowski koagulációs elméletében a következő feltételeket köti ki:

  • Az {y}\, és {x-y}\, monomerből álló komplexek (továbbiakban {y}\,-mer és {x-y}\,-mer) aggregációjának K_{y,x-y}\, sebességi állandója valamennyi {y}\,- és {x-y}\,-mer komplexpárra azonos, vagyis a K_{y,x-y}=K_{x-y,y}\, sebességi állandó egy komplexpár lehetséges konfigurációs állapotainak lehetséges orientációban történő ütközéseire vonatkozó sebességi állandók átlaga.
  • A komplexek reakciója (ütközése) során létrejövő kötések felszakíthatatlanok, vagyis a növekedés irreverzibilis.
  • Az {x}\,-merek n_{x}\, koncentrációja a tér minden részében azonos, így valamennyi mennyiség térbeli elhelyezkedéstől való függését elhanyagoljuk.
  • Az oldat kellően híg ahhoz, hogy az {y}\,- és {x-y}\,-merek közötti reakció K_{y,x-y}\, állandójára ne legyen hatással további komplexek jelenléte. Következésképpen valamennyi reakció bimolekuláris, három vagy több komplex egyidejű reakcióját figyelmen kívül hagyjuk.

Diszkrét eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Diszkrét változókat feltételezve a következő egyenletet kapjuk:

\frac{\Delta n_x(t)}{\Delta t}=\frac{1}{2}\sum_{y=1}^{x-1} K_{y,x-y}n_y(t)n_{x-y}(t) - n_x(t)\sum^{\infty}_{y=1}K_{x,y}n_y(t)

Az egyenlet bal oldala az {x}\,-merek számának időbeli változása. Az egyenlet jobb oldala egy különbség. A különbség első részének (a kisebbítendő) alapja az {x}\,-merek bimolekuláris képződési reakciójának sebességi egyenlete:

K_{y,x-y}n_y(t)n_{x-y}(t)\,

ahol K_{y,x-y}\, az {y}\,-merek és {x-y}\,-merek reakciójának sebességi állandója, n_y(t)\, az {y}\,-merek, n_{x-y}(t)\, az {x-y}\,-merek (időtől függő) száma. Az {y}\,-mer

az {x}\,-merek {y}\,- és {x-y}\,-merekből való képződésének átlagos sebességét adja meg, a második része (a kivonandó) az {x}\,-merek {y}\,-merekkel való ütközés folytán történő továbbnövekedés miatti fogyásának sebességét mutatja. Mindkettő megfelel egy bimolekuláris reakció kinetikai egyenletének.

Folytonos eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Folytonosnak tekintve a változókat a következőképpen alakul az egyenlet:

\frac{\partial n_x(t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\int^x_0K_{y,x-y}n_y(t)n_{x-y}(t)\,dy - n_x(t)\int^{\infty}_0K_{x,y}n_y(t)\,dy

Az egyenlet bal oldala az {x}\,-merek számának idő szerinti parciális deriváltja