Skalárszorzat által indukált norma

Egy skalárszorzat által indukált norma, skalárszorzatos norma, röviden skalárszorzatnorma a matematikában egy olyan norma, mely számítható skalárszorzatból. Véges dimenziós valós vagy komplex skalárszorzatos vektorterekben ez éppen az euklideszi norma. Általában minden prehilberttérben van skalárszorzatból származó norma, amivel a prehilberttér normált tér. Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, hogyha teljesíti a paralelogrammaszabályt. Emellett a skalárszorzatból származó normák teljesítik a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, és invariánsak az unitér transzformációkra.

Definíció

Ha $V$ vektortér a valós vagy komplex számok ${\mathbb {K} }$ teste felett, ellátva a $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzattal, akkor $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ skalárszorzatos vektortér. Ekkor egy $v\in V$ vektor normája:

$\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$,

vagyis a vektor önmagával vett skalárszorzatának négyzetgyöke. Ezzel a norma jóldefiniált, mivel a vektorok önmagukkal vett skalárszorzata valós és nemnegatív.

Ezzel a normával $V$ normált tér; sőt, a norma által indukált $d$ metrikával $(V,d)$ metrikus tér, és a ${\mathcal {T}}$ normatopológiával $(V,{\mathcal {T}})$ topologikus tér

Példák

Fontos példák a következők:

• Véges dimenziós vektorterekben az euklideszi norma
• Az ℓ² négyzetesen összegezhető sorozatterekben az ℓ²-norma
• Az L² négyzetesen integrálható függvények terében az L²-norma
• A H^s Szoboljev-térben a Szoboljev-norma
• A Frobenius-norma a mátrixok terén
• A Hilbert–Schmidt-operátorok terén a Hilbert–Schmidt-norma

Tulajdonságai

A $\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$ skalárszorzat által indukált leképezés norma, tehát teljesíti a definitséget, az abszolút homogenitást és a háromszög-egyenlőtlenséget.

Normaaxiómák

A három normaaxióma a definitség, az abszolút homogenitás és a háromszög-egyenlőtlenség.

A definitség következik a négyzetgyökvonás nullhelyének egyértelműségéből minden $v\in V$ vektorra:

$\|v\|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {\langle v,v\rangle }}=0\;\Rightarrow \;\langle v,v\rangle =0\;\Leftrightarrow \;v=0$,

az abszolút homogenitás $v\in V$ és $\alpha \in \mathbb {K}$ esetén:

$\|\alpha v\|^{2}=\langle \alpha v,\alpha v\rangle ={\bar {\alpha }}\alpha \langle v,v\rangle =|\alpha |^{2}\|v\|^{2}$

és a háromszög-egyenlőtlenség minden $v,w\in V$-re a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből:

${\begin{aligned}\|v+w\|^{2}&=\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle +\langle w,w\rangle =\|v\|^{2}+\langle v,w\rangle +{\overline {\langle v,w\rangle }}+\|w\|^{2}\\&=\|v\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle v,w\rangle +\|w\|^{2}\leq \|v\|^{2}+2\,\|v\|\,\|w\|+\|w\|^{2}=\left(\|v\|+\|w\|\right)^{2}\,,\end{aligned}}$

ahol $\operatorname {Re}$ a komplex szám valós része, és a két utolsó lépésben négyzetgyököt kell vonni.

Paralelogrammaszabály

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a paralelogrammaszabályt:

$\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2(\|v\|^{2}+\|w\|^{2})$

minden $v,w\in V$ vektorra. Megfordítva a Jordan–Neumann-tétel szerint, ha egy $\|\cdot \|$ norma teljesíti a paralelogrammaszabályt, akkor van skalárszorzat, ami indukálja. A skalárszorzat a polarizációs képlettel számítható, valós esetben:

$\langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2})$.

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget:

$\left|\langle v,w\rangle \right|\leq \|v\|\,\|w\|$,

ahol az egyenlőség pontosan azt jelenti, hogy a $v$, $w$ lineárisan összefüggnek. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből azonnan adódik, hogy:

${\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}\leq 1$,

amiből két valós vektor közötti $\varphi$ szög meghatározható:

$\cos(\varphi )={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}$

Eszerint a szög mindig $[0,\pi ]$-be esik, vagyis $0^{\circ }$ és $180^{\circ }$ közé. Komplex vektorok szögére különböző definíciók vannak, köztük olyanok is, melyeknél a szög mindig valós.