Relativisztikus Doppler-effektus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy jobbra mozgó, 0.7c sebességű fényforrás. A frekvencia magasabb a jobb oldalon, alacsonyabb a balon.

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egydimenziós eset vizsgálata[szerkesztés]

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben , , , , , rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá =1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és =-1, ha jobbról (pozitív irányból).

Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

Abban a speciális esetben ha , a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

Legyen a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

Ekkor a képletek a felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálata[szerkesztés]

A többdimenziós eset vizsgálatánál vektorok lesznek, és továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje (pontosabban ) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és -t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

Geometriai levezetés[szerkesztés]

Jelölések: a fénysebesség, a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége, a jel kibocsátások időkülönbsége, a megfigyelő által észlelt időkülönbség, pedig egy segédváltozó.

Az ábráról látszik, hogy azaz . Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk.

Az idődilatáció miatt:

Ezekből

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

Távolodó megfigyelő esetén azaz Ezért a megfelelő formula:

Amit úgy is megkaphatunk, hogy helyére -t helyettesítünk.

Alkalmazás[szerkesztés]

Sebességmérés radar használatával[szerkesztés]

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

Ez a képlet felhasználható a vr sebesség kiszámítására:

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f0) távolodó mozgást () jelent, a frekvencia növekedése (f > f0) pedig közeledő mozgást ().

Külső hivatkozás[szerkesztés]