A pí szám irracionális. Jelen cikk ezt az állítást bizonyítja.
Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bizonyítása a tangensfüggvényt és a lánctörteket használja. Lényege, hogy a racionális számok tangense irracionális. A π/4 tangense 1, így π/4, tehát π sem lehet racionális.
A bizonyításhoz két lemma tartozik:
1. lemma: legyen
ahol
és
relatív prímek. Ekkor, ha véges kivétellel
, akkor
irracionális.
2. lemma:
tangensének lánctört alakja:
Feltehető, hogy már az
értéktől kezdve
, kivételek nincsenek. Ekkor minden pozitív egész
-re
, és mivel az
és
egészek különbsége legalább 1, ezért
. Mivel az
érték feltevésünk szerint egynél kisebb, ezért nem tudja megváltoztatni az egész számok előjelét.
Az előjel nem változott, ennélfogva
előjele megegyezik
előjelével. Hasonlóan kaphatjuk, hogy
előjele is megegyezik
előjelével, és abszolútértéke egynél kisebb. Leszálló rekurzióval (ismertebb néven: végtelen leszállással) beláthatjuk, hogy
előjele is ugyanez, és abszolútértéke nem lehet egynél nagyobb.
Az
eseteket könnyen átvizsgálhatjuk. Ha
, akkor tegyük fel indirekt, hogy
racionális:
,
ahonnan
. A
szám olyan, mint a fenti
, tehát egynél kisebb abszolútértékű, és
. Ezt ismételve törtek végtelen sorozatához jutunk, ahol a számlálók abszolútértékben csökkenő egészek, ami ellentmondás.
A szinusz és a koszinusz sorfejtését felhasználva:
![{\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}}={\frac {x}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87185f0ff7083088087d6424bf32664bcf2bd372)
ahol ![{\displaystyle R_{1}=-x^{2}{\frac {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2nx^{2n-2}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}}={\frac {-x^{2}}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+2)x^{2n}}{(2n+3)!}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49af19c69072a490779a73eeb50e170122ca7a01)
és hasonlóan írhatjuk, hogy
Ezt folytatva kapjuk, hogy
a rekurziót feloldva
Innen már következik, hogy
Még bizonyítani kellene, hogy ez a sor a tangenshez konvergál. Ehhez a számlálók és a nevezők egyenletes konvergenciáját és határértékeit kell igazolni.
A
helyett használhatjuk a
-t Legendre nyomán:
![{\displaystyle {\displaystyle 1-{\frac {\pi ^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {\pi ^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {\pi ^{2}}{7-\cdots }}}}}}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895a31498493f32f483c6aa57ae1b65ba6a466af)
![{\displaystyle {\displaystyle 3-{\frac {\pi ^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {\pi ^{2}}{7-\cdots }}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d794af323c1d9f53dd4890668b5854e87b8abf26)
![{\displaystyle {\frac {3}{\pi ^{2}}}={\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle 5-{\frac {\pi ^{2}}{7-\cdots }}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26176a495ab33092ef2c6c77eedc66bf18dd5c7d)
-től kezdve
, tehát az első lemmával kapjuk, hogy
, így
is irracionális.