Szangamagrámi Mádhava
Szangamagrámi Mádhava | |
Született | സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ[1] 1350[2] Sangamagrama[3] |
Elhunyt | 1425 (74-75 évesen)[4][2] Indiai szubkontinens[3] |
Foglalkozása | |
Sablon • Wikidata • Segítség |
Szangamagrámi Mádhava (संगमग्राम के माधव , 1350–1425 körül, születési helye: Szangamagráma[5]) indiai matematikus. A Keralai csillagászati–matematikai iskola alapítója.
A 14. században élt Szangamagrámi Mádhava jelentős felfedezéseket tett a matematikai analízis témakörében. Legismertebb eredménye a Mádhava–Gregory-sor a értékének meghatározására, továbbá a Mádhava–Newton-sor a szinusz és koszinusz értékek közelítésére. Munkái eredeti formájukban versekben íródtak, ezekből kevés maradt fenn. (Kényelmi szempontból a fogalmakat és jelöléseket a modern trigonometriai jelölésekkel írjuk le, a soroknál megadjuk a mai ismert nevüket).
Létrehozta a trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvények végtelen sorokkal való kifejezését (mai megnevezéssel ezek Taylor-sorok). Felfedezte a binomiális tételt és előállította a (pí) értékének meghatározására alkalmas Mádhava–Gregory-sort (más néven Leibniz-sor). Mindezeken felül meghatározta a közelítések számszerű eltérését az elméleti, pontos értékektől, ami a végtelen sor helyett véges számú összetevő használatából adódik.
A Mádhava által megadott módszerek gyakorlatilag megegyeznek azokkal a későbbi módszerekkel, amiket a matematikai analízisben Gottfried Wilhelm Leibniz, Sir Isaac Newton és Brook Taylor írt le Európában, mintegy 300 évvel Mádhava után.
Az arkusz tangens kiszámítása, a Mádhava–Gregory-sor
[szerkesztés]Mádhava az arkusz tangens kiszámítására az alábbi végtelen sort írja le:
Ha , a Leibniz-sor néven ismert végtelen sorozatot kapjuk, ami a értékének egyik közelítését adja meg.
A pi értékének meghatározásai
[szerkesztés]Két konkrét szám hányadosaként
[szerkesztés]Egy versben megadja két szám hányadosaként a pí értékét, ami 11 tizedesjegyre pontos:
2 827 433 388 233 / 900 000 000 000 = 3,14159265359
A kör kerülete
[szerkesztés]A pí értékét levezeti a kör kerülete hosszának meghatározásából is, amit geometriailag egy sokszöggel közelít.
Ismerteti a végtelen sorral való közelítés módszerét, amit Mádhava–Leibniz-módszerként ismerünk. Ebben a végtelen sor helyett a gyakorlatban használt véges számú tag után egy korrekciós tényezőt is megad, amivel a képlet a pontos érték felé jobban közelít.
ahol
- a kör kerülete
- a kör átmérője
- a számításba vett tagok száma
- a korrekciós tényező
Mádhava megjegyzi, hogy „ha az osztást sokszor végezzük el, az eredmény nagyon pontos lesz”. Az eltérés a pontos értéktől három tag esetén = 0,5%, négy tagnál = 0,2%, öt tagnál = 0,12%, tíznél = 0,01%.
Egyéb
[szerkesztés]A pi értékének kiszámítására az alábbi képletet is alkalmazza:
A szinusz kiszámítása, a Mádhava–Newton-sor
[szerkesztés]ahol
- a kiszámítandó szög percben megadva
További matematikai kutatások
[szerkesztés]A fentiek csupán illusztrációi annak, amikkel Mádhava és követői foglalkoztak. A Keralai iskola keretében készült egyes írásokból világosan látszik, hogy a korábbi munkákat gondosan elemezték, illetve azokhoz kritikus megjegyzéseket fűztek. Vagyis a korábbi kutatások eredményeit nem szolgai másolással adták tovább, hanem meg is vizsgálták azok tartalmát és helyességét.
Mádhava követői a „Keralai iskolában” halála után a 16. századig bővítették tovább műveit.[6][7]
Mádhava egyik tanítványa, Paramesvara különösen kitűnt abban, hogy újabb változatait dolgozta ki a végtelen sorok közelítési módszereinek és újabbakat talált ki. Paramesvara érdeklődött az iterációs algoritmusok konvergálási feltételeinek vizsgálata iránt. Főleg azokat vizsgálta, ahol a konvergálás lassan ment végbe, és ezeken próbált javítani. Módszere gyakorlatias volt, nem indokolta meg az eredményeit (abban a korszakban ez volt a szokás).
Kulturális hatás
[szerkesztés]Figyelembe véve az Arab-tenger partja mentén fekvő malabari partvidék akkori nemzetközi, kereskedelmi jellegét és az ebből fakadó multikulturális, kozmopolita lakosságot, feltételezhető, hogy Mádhava és követőinek munkája eljutott az iszlám világba és azon keresztül a később kialakuló európai matematikai szemléletre is hatással lehetett.[8][9] Feltételezések szerint a 16. század második felében, jezsuita misszionáriusok Koccsi tengeri kikötőváros körzetében is a tengeri navigáció egyes problémáit megoldó trigonometriai és naptári módszereket kerestek. Rábukkanhattak a Keralai iskola által kidolgozott, szinusz-értéket közelítő számítások módszerére, amik leírásait magukkal vihették Európába.
Nincs bizonyíték arra, hogy ezeknek a matematikai munkáknak a 16. vagy 17. században létezett volna latin nyelvű fordítása, vagy akár összefoglalója Európában, és az infinitezimális számítások kidolgozói sem említik, hogy indiai munkákra támaszkodtak volna. Ugyanakkor a matematikatörténetben széles körben elfogadott nézet (konkrét írásos bizonyíték nélkül is), hogy az indiai matematika hatással volt a matematika európai alakulására az arab tudósok munkáin keresztül, és ez az elképzelés a matematikai módszerek koncepcióinak nagyfokú hasonlóságán alapul.
Munkái
[szerkesztés]K.V. Sarma a következő műveket Mádhavának tulajdonítja:[10][11]
- Golavada
- Madhyamanayanaprakara
- Mahajyanayanaprakara
- Lagnaprakarana (लग्नप्रकरण)
- Venvaroha (वेण्वारोह)[12]
- Sphutacandrapti (स्फुटचन्द्राप्ति)
- Aganita-grahacara (अगणित-ग्रहचार)
- Chandravakyas (चन्द्रवाक्यानि)
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Nemzetközi Virtuális Katalógustár (több nyelv nyelven). Online Számítógépes Könyvtári Központ
- ↑ a b MacTutor History of Mathematics archive. (Hozzáférés: 2017. augusztus 22.)
- ↑ a b MacTutor History of Mathematics archive
- ↑ Integrált katalógustár (német nyelven). (Hozzáférés: 2015. október 18.)
- ↑ Szangamagráma mai neve: Irinjalakuda (Kerala állam, Kocsín közelében), Szangamagramma formában is előfordul.
- ↑ O'Connor, J.J., E.F. Robertson: "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics Archive. (2000)
- ↑ Pearce, Ian G.: "Madhava of Sangamagramma" Archiválva 2006. május 5-i dátummal a Wayback Machine-ben, MacTutor History of Mathematics Archive. (2002)
- ↑ Bressoud, David: Was calculus invented in India?, The College Mathematics Journal 33, 2002, 2–13.
- ↑ Katz, Victor J.: Ideas of calculus in Islam and India. Mathematics Magazine 68 (3), 1995, 163–174.
- ↑ Sarma, K.V.. Contributions to the study of Kerala school of Hindu astronomy and mathematics. Hoshiarpur: V V R I (1977)
- ↑ David Edwin Pingree. Census of the exact sciences in Sanskrit,, A. Philadelphia: American Philosophical Society, 414–415. o. (1981)
- ↑ K Chandra Hari (2003). „Computation of the true moon by Madhva of Sangamagrama”. Indian Journal of History of Science 38 (3), 231–253. o. (Hozzáférés: 2010. január 27.)
Források
[szerkesztés]- James Tanton, Ph.D.: Encyclopedia of Mathematics, Facts On File Inc., 2005, ISBN 0-8160-5124-0
- Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-12067-6
További információk
[szerkesztés]- K. V. Sarma: A History of the Kerala School of Hindu Astronomy, Hoshiarpur, 1972
- C. T. Rajagopal, M. S. Rangachari: On medieval Keralese mathematics, Arch. History Exact Sci., Band 35, 1986, p. 91-99
- Radha Charan Gupta: The Madhava-Gregory series, Math. Education, Band 7, 1973, B67-B70.