Logaritmikus eloszlás

Tömegfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

A logaritmikus eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás, mely a MacLaurin-sor kiterjesztéséből vezethető le (a MacLaurin-sor a Taylor-sor egy speciális esete):

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

Ebből kapjuk:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

A Log(p)-eloszlású valószínűségi változó tömegfüggvénye:

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

k≥1 értékekre, és ahol 0<p<1. A fentiek miatt az eloszlás normalizált. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

ahol B az inkomplett bétafüggvény. Poissonnal kevert Log(p)-eloszlású változónak negatív binomiális eloszlása van. Más szavakkal, ha N egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó, és X_i, i = 1, 2, 3, ...egy végtelen sora az egymástól független, azonos valószínűségi változóknak, melyeknek Log(p)-eloszlása van, akkor

$\sum _{i=1}^{N}X_{i}$- negatív binomiális eloszlású.

Ily módon a negatív binomiális eloszlás, egy összetett Poisson-eloszlás.

Ronald Aylmer Fisher egy publikációjában a negatív binomiális eloszlást a fajok relatív bőségének a modelljeként írja le.

Jellemző paraméterek

• Tartomány=$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$|
• Sűrűségfüggvény=${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!$|
• Kumulatív eloszlásfüggvény=$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!$|
• Középérték=${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!$|
• Módusz=$1$
• Szórásnégyzet=$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!$|
• Momentum generáló függvény=${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p\,$|
• Karakterisztikus függvény=${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t\in \mathbb {R} \!$|
• Generátorfüggvény=${\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}$|

Kapcsolódó szócikkek

• Poisson-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika

Irodalom

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel: Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions. (hely nélkül): John Wiley & Sons. 2005. ISBN 978-0-471-27246-5  

Források

• A logaritmikus eloszlás a MathWorld-ön
• A logaritmikus eloszlás