Legendre-szimbólum

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció

Ha $p$ prímszám és $a$ egész szám, akkor az $\left({\frac {a}{p}}\right)$ Legendre-szimbólum értéke:

• 0, ha $p$ osztja $a$-t,
• 1, ha $a$ kvadratikus maradék $p$-re nézve – azaz van olyan egész $k$ hogy $k^{2}\equiv a{\pmod {p}}$,
• –1, ha $a$ kvadratikus nemmaradék $p$-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú $k$ egész szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

1. $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
2. Ha $a\equiv b{\pmod {p}}$, akkor $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
3. $\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
4. Ha $p$ páratlan prím, akkor $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$, azaz 1, ha $p\equiv 1{\pmod {4}}$ és – 1, ha $p\equiv 3{\pmod {4}}$
5. Ha $p$ páratlan prím, akkor $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$, ami 1, ha $p\equiv 1$ vagy $7{\pmod {8}}\,$ és – 1, ha $p\equiv 3$ vagy $5{\pmod {8}}\,$
6. Ha $p$ és $q$ páratlan prímszámok, akkor $\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}$

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások

• Az Euler-kritérium