Kronecker–Capelli-tétel

A Kronecker–Capelli-tétel a lineáris algebra tétele, amely arra ad választ, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer megoldható-e. A tétel állítása szerint egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha az együtthatóiból képzett mátrix rangja megegyezik a bővített mátrixának a rangjával.

Példa

Tekintsük a következő egyenletrendszert:

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

Az együtthatók mátrixa

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

és a bővített mátrix

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].$

Mivel mindkét mátrix rangja 2, ezért létezik megoldás. Ugyanakkor a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma, ami 3, ezért végtelen sok megoldás van.

Ellenpéldaként tekintsük a következő rendszert:

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5.

ahol az együtthatók mátrixa

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

és a bővített mátrix

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$

Ebben a példában az együtthatómátrix rangja 2, míg a bővített mátrix rangja 3, ezért ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása. A lineárisan független sorok száma eggyel nő a bővített mátrixban, ami inkonzisztenssé teszi az egyenletrendszert.

Kapcsolódó szócikkek

• Gauss-elimináció

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rouché–Capelli theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Hivatkozások

• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975, 84. old.
• A. Carpinteri. Structural mechanics. Taylor and Francis, 74. o. (1997). ISBN 0-419-19160-7