Középhangú temperálás

A reneszánsz beköszöntével sok egyéb mellett a nagyterc felfogása is megváltozott: míg a középkorban disszonánsnak tartották, mára konszonáns-szerepű lett.

Ennek következtében immár problémát jelentett az, hogy négy tiszta kvint a szintonikus kommával nagyobb a két oktávnál és egy nagytercnél: például a C-G-D-A-E kvintek nem lehetnek egyszerre tiszták a C-E terccel (a következőkben a két oktávot és egy tercet kiadó négy kvintet az adott terc kvintláncának hívjuk). A középhangú temperálásban kompromisszumként a kvintkör 11 kvintje egy kevéssé kisebb, mint a tiszta kvint, ezáltal közülük négy együtt tisztán vagy majdnem tisztán kiad egy nagy tercet. A kvintkör 12. kvintje is meghatározódott ezáltal: mivel a tiszta kvinttől annyira eltér, hogy gyakorlatilag használhatatlan, „farkaskvint”-nek hívják. Minden olyan nagyterc, amelynek kvintlánca tartalmazza a farkaskvintet, szintén használhatatlanul hamis (egészen pontosan véve itt szűkített kvartokról van szó); így nyolc tiszta nagyterc marad.

Ha a 11 kvintet a szintonikus komma 1/4-ével szűkítjük, akkor a használható tercek mind pontosan tiszták lesznek. Ezt a hangolást negyedkommás középhangú temperálásnak nevezik. Gyakran alkalmazott temperálások még a hatod-, ötöd-, kétheted- és harmadkommás középhangú temperálások, amelyeknél a 11 kvintet a szintonikus komma megfelelő töredékével szűkítjük.

Mikor középhangú temperálásról beszélünk, legtöbbször a negyedkommás középhangú temperálásra gondolunk, mert csak ennél tiszták pontosan a használható nagytercek. Az egészhang frekvenciaviszonya ( ${\sqrt {5/4}}$ ) pontosan geometriai közepe a természetes nagy (9:8) és kis (10:9) egészhangnak: innen származik a középhangú elnevezés.

Először 1523-ban történik említés erről a hangolási módról, ami aztán a 17. század végéig uralkodó volt. Történetileg megjelenése a kiegyenlített hangolás felé vezető fejlődés kezdetének tekinthető.

A gyakorlatban könnyen megvalósítható a negyedkommás középhangú temperálás, mivel csak négy temperált kvintet kell behangolni, a többi hang tiszta tercek segítségével ezekből meghatározható.

A negyedkommás középhangú temperálás felépítése

A tiszta nagyterc (5/4) centértéke: $1200\cdot \log _{2}{\left({\frac {5}{4}}\right)}\approx 386{,}314$ .

A tiszta kvint (3/2) centértéke: $1200\cdot \log _{2}{\left({\frac {3}{2}}\right)}\approx 701{,}955$ .

A szintonikus komma centekben tehát:

$C_{sK}=(4\cdot 701{,}955-2\cdot 1200)-386{,}314=407{,}82-386{,}314=21{,}506$

Ennek egynegyede: ${\frac {21{,}506}{4}}=5{,}3765$ .

Így a szintonikus komma egynegyedével szűkített kvint centekben: 701,955 – 5,3765 = 696,5785.

Esz-től építjük fel ezzel a „középhangú” kvinttel a kvintkörünket, így a nagytercek (négy kivételével) tiszták lesznek. A püthagoraszi komma kiküszöböléséhez a 12. kvintet ki kell terjeszteni, hiszen a 11 negyedkomma szűkítés jóval több, mint amennyi a kiegyenlítéshez szükséges lenne. A kiterjesztés mértéke a következőképpen számítható:

A püthagoraszi komma értéke 23,46, mivel 12·701,955 – 7·1200 = 23,46. 11 kvintet szűkítettünk 5,3765 C-tel, így összesen szűkítettük a kvintkört: 11·5,3765 = 59,1415 C-tel, vagyis ki kell a 12. kvintet bővítenünk 59,1415 – 23,46 = 35,6815 C-tel. Ez az eltérés igen jelentős a tiszta értéktől, ezért ez a kvint nagyon hamisan szól (ún. farkaskvint).

A kvintkör felépítése tehát Esz-től

Hang	Kvint	Abszolút centérték	Közös oktávba transzponálva
Esz		-2089,7355	310,2645
B	696,5785	-1393,1570	1006,8430
F	696,5785	-696,5785	503,4215
C	696,5785	0,0000	0,0000
G	696,5785	696,5785	696,5785
D	696,5785	1393,1570	193,1570
A	696,5785	2089,7355	889,7355
E	696,5785	2786,3140	386,3140
H	696,5785	3482,8925	1082,8925
Fisz	696,5785	4179,4710	579,4710
Cisz	696,5785	4876,0495	76,0495
Gisz	696,5785	5572,6280	772,6280

A kapott hangközök

Hangköz	C	G	D	A	E	H	Fisz	Cisz	Gisz	Esz	B	F
Prím	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
Kvint	696,5785	696,5785	696,5785	696,5785	696,5785	696,5785	696,5785	696,5785	737,6365¹	696,5785	696,5785	696,5785
Nagyszekund	193,1570	193,1570	193,1570	193,1570	193,1570	193,1570	193,1570	234,2150	234,2150	193,1570	193,1570	193,1570
Nagyszext	889,7355	889,7355	889,7355	889,7355	889,7355	889,7355	930,7935	930,7935	930,7935	889,7355	889,7355	889,7355
Nagyterc	386,3140	386,3140	386,3140	386,3140	386,3140	427,3720²	427,3720²	427,3720²	427,3720²	386,3140	386,3140	386,3140
Nagyszeptim	1082,8925	1082,8925	1082,8925	1082,8925	1123,9505	1123,9505	1123,9505	1123,9505	1123,9505	1082,8925	1082,8925	1082,8925
Tritonus	579,4710	579,4710	579,4710	620,5290	620,5290	620,5290	620,5290	620,5290	620,5290	579,4710	579,4710	579,4710
Kisszekund	76,0495	76,0495	117,1075	117,1075	117,1075	117,1075	117,1075	117,1075	117,1075	76,0495	76,0495	76,0495
Kisszext	772,6280	813,6860	813,6860	813,6860	813,6860	813,6860	813,6860	813,6860	813,6860	772,6280	772,6280	772,6280
Kisterc	310,2645	310,2645	310,2645	310,2645	310,2645	310,2645	310,2645	310,2645	310,2645	269,2065	269,2065	269,2065
Kisszeptim	1006,8430	1006,8430	1006,8430	1006,8430	1006,8430	1006,8430	1006,8430	1006,8430	1006,8430	965,7850	965,7850	1006,8430
Kvart	503,4215	503,4215	503,4215	503,4215	503,4215	503,4215	503,4215	503,4215	503,4215	462,3635	503,4215	503,4215
Oktáv	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1: farkaskvint; 2: nem tiszta nagytercek

Az eltérés a kiindulási hangnemtől az egyes hangnemekben

Hangköz	G	D	A	E	H	Fisz	Cisz	Gisz	Esz	B	F
Prím	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
Kvint	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-41,058	0,000	0,000	0,000
Nagyszekund	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Nagyszext	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-41,058	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Nagyterc	0,000	0,000	0,000	0,000	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Nagyszeptim	0,000	0,000	0,000	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Tritonus	0,000	0,000	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Kisszekund	0,000	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Kisszext	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	-41,058	0,000	0,000	0,000
Kisterc	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	41,058	41,058	41,058
Kisszeptim	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	41,058	41,058	0,000
Kvart	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	41,058	0,000	0,000
Oktáv	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000

Láthatóan minél messzebb kerülünk az alaphangnemtől, annál hamisabb a hangsorunk.

Külső hivatkozások

Német leírás a negyedkommás középhangú temperálásról

Nagy Ákos mikrotonalitásról szóló interjú

Zeneportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap