Hippokratész holdacskái
Hippokratész holdacskái egy derékszögű háromszöghöz hozzárendelt két síkidom. A síkidomokat úgy kapjuk, hogy a derékszögű háromszög két befogója fölé rajzolt félkörből kivonjuk az átfogó fölé rajzolt – a háromszöget tartalmazó – félkör (avagy a háromszög köré írható kör) és a befogó fölötti félkörök metszetét.
A két holdacska területének összege egyenlő a derékszögű háromszög területével.
Az állítás a Pitagorasz-tétel alapján bizonyítható:
- A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): .
A félkörök területe:
Ezt az eredeti egyenletbe belehelyettesítve:
Az egyenletet 8-cal szorozva:
Az egyenletet PI-vel osztva:
Ezzel bizonyítottuk, hogy az az állítás miszerint derékszögű háromszög befogóira emelt félkörök területének összege azonos az átfogóra emelt félkör területével egyenértékű azzal az állítással, hogy a tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével, ami a Pitagorasz-tétel.
Az átfogóra emelt félkör területe a háromszög területének levonása után (a egyenlőséget kihasználva):
ahol a háromszög területe.
A rajzról leolvasható, hogy a fekete félholdak területe:
A tételt a matematikus Khioszi Hippokratész állította fel. Névrokona Hippokratész, a kószi orvosi iskola vezetője volt.
Hasonlóképpen értelmezhetők a holdacskák húrnégyszögek esetén is.
Források
[szerkesztés]- Hippokratész holdacskái, Matematikai kislexikon, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1972