Hiperjáték-paradoxon
A hiperjáték-paradoxon egy jólfundáltságra visszavezethető logikai paradoxon.
Probléma[szerkesztés]
Egy (kétszemélyes) játékot akkor nevezünk jólfundáltnak, ha véges sok lépésben az egyik játékos győz, vagy döntetlent érnek el. (Például az egyre kisebb természetes számok mondása jólfundált, ellentétben a valós számokkal.) Tekintsük most az összes jólfundált játékok G halmazát, és legyen a hiperjáték az, hogy az A játékos választ egyet a jólfundált játékok közül, majd ezután a B játékos elkezdi a választott játékot.
A probléma: jólfundált játék-e a hiperjáték?
Két eset lehetséges:
- A hiperjáték jólfundált. Ekkor a hiperjáték is a jólfundált játékok G halmazában van, tehát az A játékos választhatja a hiperjátékot a játszandó játéknak, de akkor ezt B is megteheti, stb., így a játék nem fejeződik be soha, tehát a hiperjáték nem jólfundált. Ellentmondás.
- A hiperjáték nem jólfundált. Ekkor az A játékos választ a jólfundált játékok G halmazából egy játékot, ami n lépésben befejeződik, tehát a hiperjáték is befejeződik (n + 1) lépésben, tehát jólfundált. Ellentmondás.
A paradoxon története[szerkesztés]
A paradoxon 1983-ban merült fel Raymond Smullyan egy cikkében,[1] majd 1987-ben William Zwicker írt róla részletesebben,[2] kimutatva más paradoxonokkal való kapcsolatát, majd egy megoldási javaslatot is kínált. Azóta sok helyen előkerült, például Jon Barwise és Lawrence Moss Vicious Circles című könyvükben,[3] amelyben egy nem jólfundált halmazelmélet keretei közt formálisan modellálták a paradoxont. A gráfelmélet is felhasználta a paradoxont.
Kiutak a paradoxonból[szerkesztés]
A hiperjáték-paradoxonnál is – mint sok más, a Russell-paradoxonhoz hasonlóan körkörösségre, öntartalmazásra apelláló paradoxonnál – adja magát a lehetőség, hogy egyszerűen kizárjuk a nemjólfundált konstrukciót, mint nem létező entitást. Ez a konstrukció esetünkben természetesen a „minden jólfundált játék halmazá”-ra vonatkozik. Ebben segít az axiomatikus halmazelméletekben gyakori regularitási axióma, mely kiküszöböli a játékoknak magukat játszmaként való tartalmazását is. Lényegében Zwicker 1987-es feloldása is ebbe az irányba mutat. „A hiperjáték nem létezik, ezért ne is gondoljunk arra, hogy azt játsszuk.” Barwiseékat viszont nem elégíti ki ez a megoldás, mert bár technikailag korrektül oldja fel a problémát, mégis marad egy olyan érzésünk, hogy a hiperjáték-paradoxon mond valamit a dolgok struktúrájáról, amit nem fontolunk meg azzal, ha csak egyszerűen kizárjuk a létező dolgok sorából.
A paradoxon egy gráfelméleti megfogalmazása[szerkesztés]
A hiperjáték-paradoxon egy gráfelméleti átfogalmazása a véges gyökeres fák paradoxonja.
- Definíció: Az egymáshoz csatlakozó élek sorozatát útnak nevezzük.
- Definíció: Egy gráfot fának nevezünk, ha bármely két pontja között egyetlen út halad.
- Definíció: Gyökeres egy fa, ha ki van jelölve egy pontja (az ún. gyökérpont).
- Definíció: Véges egy fa, ha nincsen benne végtelen út.
Tekintsük most az összes véges gyökeres fákat, és egy további P pontot. Ezek egyesítését egészítsük ki a P-ből minden egyes gyökérhez húzott élekkel, és jelöljük ki a P pontot.
- A probléma: Véges-e az így kapott gyökeres fa?
Jegyzetek[szerkesztés]
- ↑ Smullyan, Raymond – 1983, 5000 B C and other Philosophical Fantasies, New York St Martin's Press
- ↑ Zwicker, William S – 1987, Playing games with games, the hypergame paradox, American Mathematical monthly 94(6) 507-514
- ↑ Jon Barwise, Lawrence Moss: Vicious Circles: On the Mathematics of Non-Wellfounded Phenomena, Center for the Study of Language and Information, Stanford, CA, CSLI Lecture Notes, No. 60,1996. 12.3-as fejezet.
Források[szerkesztés]
- Szigeti Tamás, Paradoxonok a matematikában, szakdolgozat, Szegedi Tudományegyetem TTK, Halmazelméleti és matematikai logikai tanszék