Grassmann-szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai fizikában a Grassmann-szám (hívják antikommutáló számnak is) egy mennyiség, amelyik antikommutál más Grassmann-számokkal, de kommutál rendes számokal,

A fentiek miatt bármely Grassmann-szám négyzete eltűnik:

A Grassmann-számok egy halmaza által generált algebra neve Grassmann-algebra (vagy külső algebra). n, lineárisan független Grassmann-szám által generált Grassmann-algebra dimenziója 2n. Ezek a fogalmak mind Hermann Grassmannról kapták a nevüket.

A Grassmann-algebrák a szuperkommutatív algebrák prototípusai. Ezek páros és páratlan változókra széteső algebrák, ahol a páros elemek kommutálnak, a páratlanok pedig antikommutálnak.

Mátrix reprezentáció[szerkesztés]

A Grassmann-számokat mindig reprezentálhatjuk mátrixokkal. Tekintsük például a két Grassmann-szám ( és ) által generált Grassmann-algebrát

Ezek a Grassmann-számok 4×4-es mátrixokkal reprezentálhatók:

Általában egy n generátoron alapuló Grassmann-algebra 2n × 2n-es mátrixokkal reprezentálható. Fizikai értelemben, ezekre a mátrixokra gondolhatunk úgy, mint Hilbert-téren ható keltő operátorokra n azonos fermionnal a betöltési állapotban.

Minden fermion betöltési száma 0 vagy 1, 2n számú betöltési állapot lehetséges. Matematikailag ezek a mátrixok tekinthetők olyan lineáris operátoroknak, amelyek bal külső szorzásnak felelnek meg a Grassmann-algebrán magán.

Alkalmazások[szerkesztés]

A kvantumtérelméletben Grassmann-számokat használnak a fermionmezők útintegráljának definiálására. A Berezin-integrálokat szintén Grassmann-számokon definiálják.

A Grassmann-számok alapvetőek a szupertér (lásd szuperszimmetria) definiálásakor, ahol antikommutáló koordináták szerepét játsszák.