Euler-Maclaurin képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Euler-Maclaurin képlet vagy formula kapcsolatot teremt az integrál és az összeg között. A formulát egymástól függetlenül fedezte fel Leonhard Euler és Colin Maclaurin 1735 körül. A formula alkalmazható végtelen vagy véges összegek becsléséhez, illetve integrálok értékének közelítő meghatározásához.

A formula[szerkesztés]

A képlet a következő alakot ölti:

Itt a Bernoulli-féle számokat, pedig a maradéktagot jelöli. A Bernoulli polinomok felhasználásával a maradéktag így írható:

Ha n páros, akkor szokás a képletet a következő alakban is megadni:

Alkalmazás[szerkesztés]

A képlet alkalmazásával f(x) = ln(x) helyettesítéssel például eljuthatunk a Stirling-formuláig:

A formula segítségével Euler a következő aszimptotikus sort találta a harmonikus sor részletösszegére:

A C számot Euler-féle konstansnak nevezzük, értéke körülbelül 0,5772156649.

Irodalom[szerkesztés]

Springer Online Reference Works – http://eom.springer.de/