Elliptikus koordináta-rendszer

Elliptikus koordináta-rendszer

A geometriában az elliptikus koordináta-rendszer egy kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, melynek koordinátavonalai konfokális ellipszisek és hiperbolák. Az $F_{1}$ és $F_{2}$ fókuszpontokat rendszerint egy Descartes-féle koordináta-rendszer $x$-tengelyén, az $x=-a$ és $x=+a$ pontokban veszik fel.

Alapdefiníció

Elliptikus koordináták a = 1 esetén. A numerikus excentricitást itt e jelöli

A $(\mu ,\nu )$ elliptikus koordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\ \operatorname {ch} \mu \ \cos \nu$

$y=a\ \operatorname {sh} \mu \ \sin \nu$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám és $\nu \in [0,2\pi ].$

Komplex síkon egy ekvivalens kapcsolat:

$x+iy=a\ \operatorname {ch} (\mu +i\nu )$

Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az

${\frac {x^{2}}{a^{2}\operatorname {ch} ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\operatorname {sh} ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\mu$-höz tartozó koordinátavonalak ellipszisek, míg a

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\operatorname {ch} ^{2}\mu -\operatorname {sh} ^{2}\mu =1$

mutatja, hogy a konstans $\nu$-höz tartozók hiperbolák. $\mu =0$ esetén az ellipszis koordinátavonal a két gyújtópontot összekötő szakasszá fajul. $\nu =0$ esetén a hiperbola az $\left[a,\infty \right[$ félegyenessé fajul el az $x$-tengelyen, $\nu =\pi$ esetén a hozzá tükörszimmetrikus félegyenessé az $x$-tengely negatív felén. $\nu ={\tfrac {\pi }{2}}$ és $\nu ={\tfrac {3\pi }{2}}$ esetén a koordinátavonal az $y$-tengely pozitív, illetve negatív fele.

Az összes ellipszis és hiperbola lineáris excentricitása megegyezik: $e=a$. Azokon az ellipsziseken, ahol $\mu$ konstans, a nagytengely $\alpha =a\operatorname {ch} \mu$, a kistengely $\beta =a\operatorname {sh} \mu$ és numerikus excentricitása $\varepsilon ={\tfrac {1}{\operatorname {ch} \mu }}$. Azokon a hiperbolákon, ahol $\nu$ konstans, a valós féltengely $\alpha =a\cos \nu$, a képzetes féltengely $\beta =a\sin \nu$, és a numerikus excentricitás $\varepsilon ={\tfrac {1}{\cos \nu }}$.

Az ábrázolás ebben a koordináta-rendszerben azért lehetséges, mivel a koszinusz hiperbólikusz és a szinusz hiperbólikusz, illetve a koszinusz és a szinusz triviálisan kielégíti az ellipszisek kis és nagytengelye, illetve a hiperbolák valós és képzetes tengelye közötti kapcsolatot.

Skálázási tényezők

Az ortogonális koordináta-rendszerekben a bázisvektorok hosszai skálázási tényezőkként ismertek. A $(\mu ,\nu )$ elliptikus koordináták skálázási tényezői:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.$

A hiperbolikus és a trigonometrikus függvények kétszeres szögekre vonatkozó azonosságainak felhasználásával:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} 2\mu -\cos 2\nu )}}.$

Így a felszínelem

$dA=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu =a^{2}\left(\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu =a^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\operatorname {ch} 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu$

és a Laplace-operátor

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\operatorname {ch} 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\mu ,\nu )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Transzformációk

A $(\mu ,\nu )\rightarrow (x,y)$ transzformációhoz a fenti jelöléseket használjuk.

Az $(x,y)\rightarrow (\mu ,\nu )$ inverz transzformációkhoz a koordináta-rendszer alapötletét kell figyelembe venni. Eszerint az $(x,y)$ pontnak rajta kell lennie egy ellipszisen és egy vele konfokális hiperbolán. Ezek féltengelyeit jelölje $(\alpha ,\beta )$. Az ellipszis és a hiperbola egyenletének felhasználásával:

${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(a\operatorname {ch} \mu )^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(a\operatorname {sh} \mu )^{2}}}$

${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(a\cos \nu )^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(a\sin \nu )^{2}}}$

Ezeket az egyenleteket kielégíti a fent leírt Descartes-koordináta-rendszer.

Alkalmazzuk most az alapvető hiperbolikus és trigonometrikus összefüggéseket:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1$

ez alapján levezethető a következő transzformációleírás:

$a^{2}{\operatorname {sh} }^{2}\mu ={\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}\right)^{2}+a^{2}y^{2}}}=m+{\sqrt {m^{2}+a^{2}y^{2}}}$

$a^{2}\sin ^{2}\nu =-{\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}\right)^{2}+a^{2}y^{2}}}=-m+{\sqrt {m^{2}+a^{2}y^{2}}}$

ahol $m:={\tfrac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}$.

Alternatív definíció

Néha másként definiálják az elliptikus koordinátákat, azaz a koordináták $(\sigma ,\tau )$, ahol $\sigma =\operatorname {ch} \mu$ és $\tau =\cos \nu$. Így a konstans $\sigma$-hoz tartozó koordinátavonalak ellipszisek, és a konstans $\tau$-hoz tartozók hiperbolák. A $\tau$ koordináta a [-1, 1] intervallumba kell, hogy essen, míg a $\sigma$ koordinátának eleget kell tennie a $\sigma \geq 1$ egyenlőtlenségnek.

A $(\sigma ,\tau )$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az $F_{1}$ $(-a,0)$ és $F_{2}$ $(+a,0)$ fókuszpontok távolságával. A sík minden pontja esetén a $d_{1}+d_{2}$ fókuszoktól mért távolság megegyezik a $2a\sigma$-val, míg a $d_{1}-d_{2}$ különbség egyenlő $2a\tau$-val. Emiatt a $F_{1}$-től mért távolság $a(\sigma +\tau )$, illetve az $F_{2}$-től vett távolsága $a(\sigma -\tau )$.

Ezeknek a koordinátáknak az a hátránya, hogy több ponthoz is ugyanazokat a koordinátákat rendeli. Így a (x,y) és az (x,-y) Descartes-koordinátájú pontok ugyanazt a $(\sigma ,\tau )$ elliptikus koordinátáját kapják. Ezzel a visszatérés a Descartes-koordinátákra nem egyértelmű.

$x=a\left.\sigma \right.\tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).$

Alternatív skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal ellátott alternatív elliptikus koordináta-rendszer skálázási tényezői:

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.$

Így a felszínelem:

$dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Magasabb dimenziókban

Az elliptikus koordináta-rendszer többféleképpen is általánosítható:

• Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer megkapható a $z$-irányba vetítéssel.
• A lapított ellipszoid koordináta-rendszer megkapható az $y$-tengely körüli forgatással (ami szétválasztja a fókuszokat)
• A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer megkapható az $x$-tengely körüli forgatással (ami összeköti a fókuszokat)
• Az ellipszoid koordináta-rendszer az elliptikus koordináta-rendszer formális definíciójának kiterjesztésével kapható. Koordinátafelületei ellipszoidok, egy és két köpenyű hiperboloidok.

Alkalmazások

Az elliptikus koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenlete és a Helmholtz-egyenlet. Ezekben a rendszerekben az elliptikus koordináták természetes leírást adnak, ami lehetővé teszi a változók szétválasztását. Ilyen példa egy molekula elektronjai vagy ellipszis alakú bolygópályák.

A H₂⁺-molekula Schrödinger-egyenlete a Born-Oppenheimer-megközelítésben teljesen szeparálható ebben a koordináta-rendszerben, de analitikusan nem oldható meg, mivel az energia és a szeparációs konstans két-két szétválasztott egyenletében explicit megjelennek.

Hasznosnak bizonyulhatnak az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is. Egy tipikus példa integráció az összes olyan $\mathbf {p}$ és $\mathbf {q}$ vektorpáron, ahol $\mathbf {p}$ és $\mathbf {q}$ összege egy konstans $\mathbf {r}$ vektor. Az integrandus pedig a $\left|\mathbf {p} \right|$ és $\left|\mathbf {q} \right|$ vektorhosszak függvénye. Ekkor a koordináta-rendszert úgy vesszik fel, hogy az $x$-tengely pozitív iránya az $\mathbf {r}$ vektorral megegyezzen, vagyis $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$. Például $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ és $\mathbf {q}$ rendre egy részecske momentuma és dekompozíciós komponensei, és az integrandus magában foglalja a komponensekhez tartozó mozgási energiát, ami a momentumok négyzetösszegével arányos.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptic coordinate system című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptische Koordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Elliptic coordinates - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. (Hozzáférés: 2022. július 23.)
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Cylindrical Coordinates." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html
• D.D. Sokolov: Elliptic coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001