Elliptikus integrál

Az elliptikus integrál fogalma onnan ered, hogy eredetileg egy ellipszis ívhosszának a problémáját vizsgálták; ezzel Giulio Fagnano és Leonhard Euler matematikusok foglalkoztak először.

Az elliptikus integrált f függvényként, a következőképpen definiálják:

$f(x)=\int \limits _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt$

ahol R egy racionális függvény két argumentummal, P egy 3-ad- vagy 4-edrendű polinom, és c egy konstans.

Általában az elliptikus integrált nem lehet elemi függvényekkel kifejezni.

Ez alól kivétel, ha P ismétlődő gyökökkel rendelkezik, vagy ha R(x,y) nem tartalmazza y páratlan hatványait.

Megfelelő redukciós képlettel, minden elliptikus integrál olyan formába hozható, amelyekben racionális függvényeket tartalmazó integrálok vannak, és Legendre kanonikus képlete. A Legendre-képlet mellett, az elliptikus integrál kifejezhető Carlson szimmetrikus formájában is. Történetileg az elliptikus függvényt az elliptikus integrál inverz függvényeként fedezték fel.

Argumentum jelölés

Az elliptikus integrál két argumentum függvénye. Ezeket az argumentumokat sokféle teljesen ekvivalens módon lehet kifejezni, (mind ugyanazt az elliptikus integrált jelöli).

Az egyik argumentum kifejezése:

• α, a moduláris szög
• k = sin α, az elliptikus modulus, vagy excentricitás;
• m = k² = sin²α, a paraméter.

Bármely fenti mennyiség teljes mértékben meghatározza bármely másik kettőt (feltéve, ha azok nem negatívak). Így ezek felcserélhetők, vagylagosan alkalmazhatok.

A másik argumentum, az amplitudó, φ, vagy x vagy u, ahol x = sin φ = sn u és sn az egyik Jacobi-féle elliptikus függvény. Bármely mennyiség értékének specifikálása, meghatározza a többit. u is függ m -től. További összefüggések:

$\cos \varphi ={\textrm {cn}}\;u,\qquad {\textrm {}}\qquad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}={\textrm {dn}}\;u$.

Az utóbbit néha delta amplitudónak is hívják, és Δ(φ)= dn u-nek írják.

Elsőfajú inkomplett elliptikus integrál

Az elsőfajú inkomplett elliptikus integrál, F definíciója:

$F(\varphi ,k)=F(\varphi \,|\,k^{2})=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$.

Ez az integrál trigonometrikus formája; behelyettesítve a $t=\sin \theta ,x=\sin \varphi$-t, megkapjuk a Jacobi-féle képletet:

$F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$.

Ezzel egyenlő, amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezve:

$F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}$.

Jelölésünkben, a függőleges vonal, mint delimiter, jelzi, hogy a következő argumentum a “paraméter”, míg a visszaper-karakter jelzi, hogy ez a moduláris szög. A pontos vessző jelzi, hogy az előző argumentum, az amplitudó szinusza:

${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F(\varphi \,|\,\sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi$ ;\sin \alpha )} .

$x={\textrm {sn}}(u;k)$ -nel kapjuk:

$F(x;k)=u$;

azaz, a Jacobi-féle elliptikus függvények az elliptikus integrálok inverzei.

Másodfajú inkomplett elliptikus integrál

A másodfajú inkomplett elliptikus integrál, E trigonometrikus képlettel:

$E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta$.

Behelyettesítve a $t=\sin \theta \;{\text{és}}\;x=\sin \varphi$ egyenleteket, kapjuk a Jacobi képletet:

$E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$.

Ezzel egyenlő, az amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezett képlet:

$E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,d\theta$.

Harmadfajú inkomplett elliptikus integrál

A harmadfajú inkomplett elliptikus integrál, Π:

$\Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}$, vagy

$\Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}$

Az n számot karakterisztikának hívják, és bármely értéket felvehet, függetlenül a többi argumentumtól, Figyeljük meg, hogy $\Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)\,\!$ értéke végtelen, bármely m-re. Kapcsolat a Jacobi-féle elliptikus függvényekkel:

$\Pi (n;\,\mathrm {sn} (u;k);\,k)=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\mathrm {sn} ^{2}(w;k)}}$.

Elsőfajú komplett elliptikus integrál

Elliptikus integrálra akkor mondjuk, hogy “komplett”, ha az amplitudó φ=π/2 és ezért x=1. Elsőfajú komplett elliptikus integrál, K definíciója:

$K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$,

Speciális értékek

$K(0)={\tfrac {\pi }{2}}$

$K(1)=\infty$

$K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\tfrac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\;\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}$

$K\left({\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right)=2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {1}{4}}\pi ^{-1}\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{3}$

$K\left({\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})\right)=2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {3}{4}}\pi ^{-1}\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{3}$

Kapcsolat a Jacobi-féle 0-függvénnyel

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}^{2}(q),$

ahol q egy speciális függvény: $q(k)=\exp \left(-\pi {\frac {K^{\prime }(k)}{K(k)}}\right)$.

Aszimptotikus kifejezések

$K(k)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}$

Ennek a közelítésnek a relatív pontossága jobb, mint 3×10⁻⁴ k < 1/2 esetében.

Derivált és differenciál egyenlet

${\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kK(k)$

Másodfajú komplett elliptikus integrál

A másodfajú komplett elliptikus integrál, E írja le az ellipszis kerületét. Definíció:

$E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt$,

vagy:

$E(k)=E({\tfrac {\pi }{2}},k)=E(1;k)$.

Hatványsorral is kifejezhető:

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}$,

mely ekvivalens:

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}$.

A Gaussi hipergeometrikus függvény kifejezéseivel:

$E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)$.

Speciális értékek

$E(0)={\tfrac {\pi }{2}}$

$E(1)=1\,\!$

$E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{-2}+{\tfrac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}$

$E\left({\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}\pi ^{-1}({\sqrt {3}}+1)\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{3}$

$E\left({\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}\pi ^{-1}({\sqrt {3}}-1)\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{3}$

Derivált és differenciál egyenlet

${\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$

$(k^{2}-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k\;{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kE(k)$

Harmadfajú komplett elliptikus integrál

A harmadfajú komplett elliptikus integrál, Π, melynek definíciója:

$\Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

Megjegyezzük,hogy néha a harmadfajú komplett elliptikus integrál definiálása az n karakterisztika inverz jelével történik,

$\Pi '(n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$.

Parciális deriváltak

${\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}={\frac {1}{2(k^{2}-n)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}(k^{2}-n)K(k)+{\frac {1}{n}}(n^{2}-k^{2})\Pi (n,k)\right)$

${\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)$

Függvény kapcsolatok

Kapcsolat a Legendre-függvénnyel:

$K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$.

Irodalom

• Harris Hancock: Lectures on the theory of Elliptic functions. (hely nélkül): New York, J. Wiley & sons. 1910.  
• Carlson, B.C: "Elliptic integral". (hely nélkül): ., NIST Handbook of Mathematical Functions. 2010.  

Kapcsolódó szócikkek

• Elliptikus görbe
• Schwarz–Christoffel-féle leképezés
• Weierstrass-féle elliptikus függvény
• Jacobi-féle téta függvény
• Ramanujan-féle téta függvény
• Hatványsorok
• Hipergeometrikus függvény
• Matematikai statisztika
• Excentricitás

További információk

• http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
• http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_587.htm
• http://code.google.com/p/elliptic/
• http://www.exstrom.com/math/elliptic/ellipint.html