Elliptikus integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az elliptikus integrál fogalma onnan ered, hogy eredetileg egy ellipszis (görbe) ívhosszának a problémáját vizsgálták; ezzel Giulio Fagnano és Leonhard Euler matematikusok foglalkoztak először.

Az elliptikus integrált f függvényként, a következőképpen definiálják:

ahol R egy racionális függvény két argumentummal, P egy 3-ad- vagy 4-edrendű polinom, és c egy konstans.

Általában az elliptikus integrált nem lehet elemi függvényekkel kifejezni.

Ez alól kivétel, ha P ismétlődő gyökökkel rendelkezik, vagy ha R(x,y) nem tartalmazza y páratlan hatványait.

Megfelelő redukciós képlettel, minden elliptikus integrál olyan formába hozható, amelyekben racionális függvényeket tartalmazó integrálok vannak, és Legendre kanonikus képlete. A Legendre-képlet mellett, az elliptikus integrál kifejezhető Carlson szimmetrikus formájában is. Történetileg az elliptikus-függvényt az elliptikus integrál inverz függvényeként fedezték fel.

Argumentum jelölés[szerkesztés]

Az elliptikus integrál két argumentum függvénye. Ezeket az argumentumokat sokféle teljesen ekvivalens módon lehet kifejezni, (mind ugyanazt az elliptikus integrált jelöli).

Az egyik argumentum kifejezése:

  • α, a moduláris szög
  • k = sin α, az elliptikus modulus, vagy excentricitás;
  • m = k2 = sin2α}}, a paraméter.

Bármely fenti mennyiség teljes mértékben meghatározza bármely másik kettőt (feltéve, ha azok nem negatívak). Így ezek felcserélhetők, vagylagosan alkalmazhatok.

A másik argumentum, az amplitudó, φ, vagy x vagy u, ahol x = sin φ = sn u és sn az egyik Jacobi-féle elliptikus függvény. Bármely mennyiség értékének specifikálása, meghatározza a többit. u is függ m -től. További összefüggések:

.

Az utóbbit néha delta amplitudónak is hívják, és Δ(φ)= dn u-nek írják.

Elsőfajú inkomplett elliptikus integrál[szerkesztés]

Az elsőfajú inkomplett elliptikus integrál, F definíciója:

.

Ez az integrál trigonometrikus formája; behelyettesítve a -t, megkapjuk a Jacobi-féle képletet:

.

Ezzel egyenlő, amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezve:

.

Jelölésünkben, a függőleges vonal, mint delimiter, jelzi, hogy a következő argumentum a “paraméter”, míg a visszaper-karakter jelzi, hogy ez a moduláris szög. A pontos vessző jelzi, hogy az előző argumentum, az amplitudó szinusza:

.

-nel kapjuk:

;

azaz, a Jacobi-féle elliptikus függvények az elliptikus integrálok inverzei.

Másodfajú inkomplett elliptikus integrál[szerkesztés]

A másodfajú inkomplett elliptikus integrál, E trigonometrikus képlettel:

.

Behelyettesítve a egyenleteket, kapjuk a Jacobi képletet:

.

Ezzel egyenlő, az amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezett képlet:

.

Harmadfajú inkomplett elliptikus integrál[szerkesztés]

A harmadfajú inkomplett elliptikus integrál, Π:

, vagy

Az n számot karakterisztikának hívják, és bármely értéket felvehet, függetlenül a többi argumentumtól, Figyeljük meg, hogy értéke végtelen, bármely m-re. Kapcsolat a Jacobi-féle elliptikus függvényekkel:

.

Elsőfajú komplett elliptikus integrál[szerkesztés]

Elliptikus integrálra akkor mondjuk, hogy “komplett”, ha az amplitudó φ=π/2 és ezért x=1. Elsőfajú komplett elliptikus integrál, K definíciója:

,

Speciális értékek[szerkesztés]

Kapcsolat a Jacobi-féle 0-függvénnyel[szerkesztés]

ahol q egy speciális függvény: .

Aszimptotikus kifejezések[szerkesztés]

Ennek a közelítésnek a relative pontossága job, mint 3×10−4 k < 1/2}} esetében.

Derivált és differenciál egyenlet[szerkesztés]

Másodfajú komplett elliptikus integrál[szerkesztés]

A másodfajú komplett elliptikus integrál, E írja le az ellipszis kerületét. Definíció:

,

vagy:

.

Hatványsorral is kifejezhető:

,

mely ekvivalens:

.

A Gaussi hipergeometrikus függvény kifejezéseivel:

.

Speciális értékek[szerkesztés]

Derivált és differenciál egyenlet[szerkesztés]

Harmadfajú komplett elliptikus integrál[szerkesztés]

A harmadfajú komplett elliptikus integrál, Π, melynek definíciója:

Megjegyezzük,hogy néha a harmadfajú komplett elliptikus integrál definíálása az n karakterisztika inverz jelével történik,

.

Parciális deriváltak[szerkesztés]

Függvény kapcsolatok[szerkesztés]

Kapcsolat a Legendre-függvénnyel:

.


Irodalom[szerkesztés]

  • Harris Hancock: Lectures on the theory of Elliptic functions. (hely nélkül): New York, J. Wiley & sons. 1910.  
  • Carlson, B.C: "Elliptic integral". (hely nélkül): ., NIST Handbook of Mathematical Functions. 2010.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]