Egyenletrendszer

Egyenletrendszerről beszélünk a matematikában akkor, ha van legalább 2 olyan egyenlet, melyeknek külön-külön vett megoldáshalmazuknak metszete megoldásul szolgálhat az egyenletrendszerre nézve. Az egyenletrendszereket úgy definiáljuk, hogy az egyes egyenleteket egymás alá írjuk, majd egyik oldalról egy egybefoglaló kapcsos zárójellel látjuk el a rendszert.

Egyenletrendszerek kategóriái

Az egyenletrendszereket az egyenletekhez hasonlóan többféle szempont alapján csoportosíthatjuk:

Jellegszerűen

• Algebrai egyenletrendszerek
• Transzcendens egyenletrendszerek
• Hibrid egyenletrendszerek
• Differenciálegyenlet-rendszerek.

Fokális szempont alapján

• Lineáris
• Másodfokú (kvadratikus)
• Harmadfokú
• Negyedfokú
• Magasabb fokú

Az ismeretlenek- és az egyenletek számának relatív aránya alapján

(|N| := az ismeretlenek száma; |M| := az egyenletek száma a rendszerben):

• |N| < |M| (Legtöbbször nincs egyértelmű megoldás csak ellentmondás)
• |N| = |M| (Általában egy megoldás (gyök) van.)
• |N| > |M| (Legtöbbször van megoldás (megoldáshalmaz) /parciális megoldás/)

Megoldási módszerek

A különböző egyenletrendszerek megoldhatóságát az egyenletek típusa, száma és jellege alapján mérlegelhetjük; ezeknek függvényében változhat az, hogy melyik operációt illetve számítási algoritmust tudjuk alkalmazni, illetve gyakran előfordul, hogy egyik módszerrel könnyebben megoldhatóak különböző egyenletrendszerek mint egy másik módszer felhasználásával.

Elsőfokú egyenletrendszerek

Az elsőfokú egyenletrendszerek megoldása lezárt témakör, Általános módszerek már régóta ismeretesek. Ezek alkalmazása sok esetben mechanikus, algoritmikus, így számítógépek segítségével elvégezhető.

Egyenlő együtthatók

Az egyenlő együtthatók módszerét főként kettő- és három egyenletből álló egyenletrendszerek esetében alkalmazzuk. Legyen adott egy kétismeretlenes egyenletrendszer:

$\left.{\begin{aligned}3x+5y&=15\\2x-4y&=20\end{aligned}}\right\}$

Ahogyan az a módszer elnevezéséből is következik, az eljárás lényege, hogy az egyenletekben szereplő egyik ismeretlen együtthatói ekvivalensek legyenek egymással. Ezt követően a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból annak függvényében, miképp tudjuk az aktuális egyik ismeretlent kiejteni a rendszerből.

Küszöböljük ki az x-es ismeretlent! Ennek érdekében szorozzuk meg az első egyenletet 2-vel, a másodikat pedig 3-mal:

$\left.{\begin{aligned}6x+10y&=30\\6x-12y&=60\end{aligned}}\right\}$

Vonjuk ki az egyik egyenletet a másikból: (I - II)

${\begin{aligned}22y&=-30&/:22\\y&={\frac {-30}{22}}=-{\frac {15}{11}}\end{aligned}}$

Helyettesítsünk vissza az eredeti egyenletrendszer egyik tetszőleges egyenletébe:

${\begin{aligned}3x-{\frac {150}{22}}&=15&&/\cdot 22\\66x-150&=330&&/+150\\66x&=480;&&/:66\\x&={\frac {80}{11}}\end{aligned}}$

Behelyettesítés

Vegyük alapul az előző egyenletrendszert:

$\left.{\begin{aligned}3x+5y&=15\\2x-4y&=20\end{aligned}}\right\}$

Majd oldjuk meg a behelyettesítés módszerével! Az eljárás lényege abban merül ki, hogy legalább az egyik ismeretlen értékét kifejezzük, majd a kifejezett összefüggéssel behelyettesítünk az egyenletrendszer egy másik egyenletének megfelelő ismeretlenjének helyére:

${\begin{aligned}3x+5y&=15&&/-5y\\3x&=15-5y&&/3\\x&={\frac {15-5y}{3}}\\\\2{\frac {15-5y}{3}}-4y&=20&&/\cdot 3\\2(15-5y)-12y&=60&&/{\text{zárójel felbontása}}\\30-10y-12y&=60&&/{\text{összevonás}}\\-22y+30&=60&&/-30\\-22y&=30&&/:(-22)\\y&={\frac {30}{-22}}=-{\frac {15}{11}}\end{aligned}}$

Ezt visszahelyettesíthetjük az x kifejezésébe:

${\begin{aligned}x&={\frac {15-5\cdot {\frac {15}{11}}}{3}}=\\&={\frac {15-{\frac {75}{11}}}{3}}={\frac {165-75}{33}}={\frac {90}{33}}={\frac {30}{11}}\end{aligned}}$

Determinánsokkal

A determináns szó jelentése: meghatározni, lineáris egyenletrendszerek megoldása során pedig az alábbi sorokban látható módszert a determináns alkalmazásával Cramer-szabálynak szokás nevezni. A Cramer-szabályt egyenletrendszerek megoldása során kizárólag lineáris egyenletrendszerek esetében használhatjuk fel, amikor is az egyenletrendszer határozott (a különböző ismeretlenek és az egyenletek száma egyenlő) és a rendszer determinánsa (D) nem zérus! A determinánsokban olyan mátrixszerű elrendezésben írjuk fel az egyenletrendszer ismeretlen tagjainak együtthatóit valamint a konstans tagokat, melyek segítségével meghatározhatóak (determinálhatóak) az ismeretlenek lehetséges értékei.

Például

Vegyük alapul az előző egyenletrendszert:

${\begin{aligned}3x+5y&=15\\2x-4y&=20\end{aligned}}$

Három determinánst kell meghatároznunk:

$D_{x}=\left|{\begin{array}{rr}15&5\\20&-4\end{array}}\right|=15\cdot (-4)-20\cdot 5=-60-100=-160$

$D_{y}=\left|{\begin{array}{rr}3&15\\2&20\end{array}}\right|=3\cdot 20-2\cdot 15=60-30=30$

$D=\left|{\begin{array}{rr}3&5\\2&-4\end{array}}\right|=3\cdot (-4)-2\cdot 5=-12-10=-22\neq 0$

Ezekkel már megoldható az egyenletrendszer. Ennek feltétele ugyanis, hogy az együttható-determináns ne legyen nulla.

${\begin{aligned}x&={\frac {D_{x}}{D}}={\frac {80}{11}}\\y&={\frac {D_{y}}{D}}=-{\frac {15}{11}}\end{aligned}}$

Gauss-elimináció

A Gauss-elimináció tulajdonképpen az egyenlő együtthatók módszerének továbbgondolása. Ennek lényege, hogy az első ismeretlent az első egyenlet kivételével minden egyenletből kiiktatjuk (elimináljuk), majd ugyanezt a második egyenlettel és ismeretlennel is megtesszük, stb.

Az eljárás révén az n-ismeretlenes, n egyenletből álló rendszer n darab egyismeretlenes egyenletre esik szét, amiket már egyszerűen tudunk megoldani.

Például

$\left.{\begin{array}{rrrl}2x&+3y&+z&=15\\x&-2y&+4z&=11\\3x&+6y&-3z&=9\end{array}}\right\}$

Vonjuk ki a második egyenletből az első 1/2-ét, a másodikból a 3/2-ét!

$\left.{\begin{array}{rrrl}2x&+3y&+1z&=15\\&-{\frac {7}{2}}y&{\frac {7}{2}}z&={\frac {7}{2}}\\&{\frac {3}{2}}y&-{\frac {9}{2}}z&=-{\frac {27}{2}}\end{array}}\right\}$

Most a második egyenlet -6/7-szeresét kivonjuk az első, -3/7-szeresét a második egyenletből.

$\left.{\begin{array}{rrrl}2x&&+4z&=18\\&-{\frac {7}{2}}y&{\frac {7}{2}}z&={\frac {7}{2}}\\&&-3z&=-12\end{array}}\right\}$

Végül a harmadik egyenlet 4/3-át kivonjuk az első egyenletből és -7/6-át a másodikból.

$\left.{\begin{array}{rrrl}2x&&&=2\\&-{\frac {7}{2}}y&&=-{\frac {21}{2}}\\&&-3z&=-12\end{array}}\right\}$

Van tehát három egyismeretlenes egyenletünk, ezek megoldása már közismert: $\left(1;3;4\right)$

Mátrixokkal

Az egyenletet felírhatjuk egy ${\vec {x}}$ ismeretlen vektor transzformációjaként:

${\hat {A}}{\vec {x}}={\vec {c}},$

ahol ${\hat {A}}$ a transzformáció mátrixa. Mivel a mátrixokkal való osztás nem értelmezhető, ezért az egyenlet megoldását kerülő úton keressük. Mivel a lineáris transzformációk a szorzásra nézvést csoportot alkotnak, a mátrixoknak, ha a determinánsuk 0-tól különbözik, van reciproka, azaz multiplikatív inverze. Ha ezzel balról szorozzuk az egyenletet, akkor egyszerre megkapjuk egy vektor formájában az egyenlet megoldásait:

${\vec {x}}={\hat {A}}^{-1}\cdot {\vec {c}}$

Például

Legyen az egyenletünk az alábbi:

${\begin{array}{rrrl}4x&-y&+5z&=25\\5x&+9y&-2z&=29\\2x&+1y&+3z&=19\end{array}}$

Ennek a rendszernek a mátrixa

${\begin{pmatrix}4&-1&5\\5&9&-2\\2&1&3\end{pmatrix}}$

Még felírjuk az eredményvektort is:

${\vec {c}}={\begin{pmatrix}25\\29\\19\end{pmatrix}}$

A mátrix inverze

${\begin{pmatrix}{\frac {29}{70}}&{\frac {8}{70}}&-{\frac {43}{70}}\\-{\frac {19}{70}}&{\frac {2}{70}}&{\frac {33}{70}}\\-{\frac {13}{70}}&-{\frac {6}{70}}&{\frac {41}{70}}\end{pmatrix}}$

Ezzel már beszorozhatjuk az eredményvektort.

${\begin{pmatrix}{\frac {29}{70}}&{\frac {8}{70}}&-{\frac {43}{70}}\\-{\frac {19}{70}}&{\frac {2}{70}}&{\frac {33}{70}}\\-{\frac {13}{70}}&-{\frac {6}{70}}&{\frac {41}{70}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}25\\29\\19\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}$

Mint látható, a megoldásokat egyszerre kaptuk meg. Mivel mátrix inverze mechanikusan számolható, ezért ez a módszer főleg számítógépes alkalmazásokban népszerű.

Lineáris bázistranszformáció

A transzformációval megfogalmazott forma továbbgondolásaként alkalmazhatjuk a bázistranszformációt. Ennek során valamely $\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)$ bázisról egy másik $\left(b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)$ bázisra térünk át. Ez lineáris transzformáció, azaz az egyenlet megoldását nem változtatja meg. Ha ennek során a transzformációs mátrix valamely speciális alakot ölti, akkor az egyenletrendszer megoldása is lényegesen egyszerűsödik.

Ez a Gauss-eliminációval és az inverz mátrix meghatározásával áll kapcsolatban, azonban, ha ismert a transzformációs mátrix, sokkal egyszerűbben is célt érhetünk. Ilyen lehet például, ha ismerjük a mátrix sajátértékeit.

Másodfokú egyenletrendszerek

A másodfokú egyenletrendszerek megoldásával kapcsolatban a Bézout-tétel nyújt felvilágosítást. Eszerint egy másodfokú egyenletrendszernek, miután két másodfokú görbét határoznak meg, legfeljebb négy megoldása lehet.

Megoldhatóság

Akárcsak az elsőfokú esetben, itt is érdemes az egyenletrendszer megoldhatóságát vizsgálni.

Megoldási módszerek

A másodfokú egyenletrendszerek esetén célszerű a behelyettesítéses módszert alkalmazni, azaz az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, majd azt a másikba behelyettesítjük. Ennek eredménye azonban időnként igen bonyolult egyenleteket eredményezhet, amik megoldása kifejezetten nehézzé válhat.

Általános esetben valamilyen közelítő eljárást szokás éppen ezért használni. Speciális esetben azonban van remény a kézzel való megoldásra is.

1. Ha az egyik egyenlet lineáris, akkor a behelyettesítést használhatjuk, eredményül egy másodfokú egyismeretlenes egyenletet kapunk, aminek megoldása közismert.
2. Ha mindkét egyenlet tisztán másodfokú tagokat tartalmaz, akkor úgy változók bevezetésével lineárissá tehetjük a rendszert.

Források

• Bronstejn Matematika zsebkönyv
• Király: Lineáris algebra
• Jánossy: Vektorszámítás