Borel–Kolmogorov-paradoxon

A valószínűségszámításban a Borel–Kolmogorov-paradoxon egy nulla valószínűségű halmazra vett feltételes valószínűségre vonatkozó paradoxon. Émile Borel és Andrej Kolmogorov után nevezték el.

Példa

Legyen egy eloszlás egyenletes egy gömbön. Mekkora a feltételes valószínűsége egy főkörre vonatkozólag?

A szimmetria miatt intuitívan adódik, hogy az eloszlás itt is szimmetrikus lesz, azonban két más elemzés ennek ellentmond.

Az elemzés szerint a pont kiválasztása megfelel annak, hogy kiválasztunk egy szélességet és egy hosszúságot. A φ szélességet a [-π/2,π/2] intervallumból választja ${\frac {1}{2}}\cos \phi$ sűrűséggel, a λ hosszúságot egyenletes valószínűséggel [−π,π]-ből.

Ekkor az egyenlítőn, azaz az φ = 0 által meghatározott főkörön a λ szélesség függvényében a [−π,π] intervallumon

$f(\lambda \mid \phi =0)={\frac {1}{2\pi }}.$

A λ = 0 által meghatározott hosszúsági körön φ függvényében a [−π/2,π/2] intervallumon

$f(\phi \mid \lambda =0)={\frac {1}{2}}\cos \phi .$

Az egyik eloszlás egyenletes, a másik nem, habár mindkettő ugyanarra a főkörre vonatkozik, de más koordináta-rendszerben.

A valószínűségszámítással foglalkozó matematikusok különféle érveket hoztak fel, hogy melyik eredmény a helyes.

Magyarázata

Az első esetben annak a feltételes valószínűsége, hogy a λ hosszúság az E halmazban van, ha φ = 0, írható úgy, hogy P(λ ∈ E | φ = 0). Az elemi valószínűség­számítás szerint a P(λ ∈ E és φ=0)/P(φ=0) képletet lehetne használni, azonban ez nem jóldefiniált, mivel P(φ=0) = 0. A mértékelmélet az R_ab = {φ : a < φ < b} eseménycsaládot ajánlja, ami vízszintes gyűrűkből áll az a és b pontok között.

A második esetben a P(φ ∈ F | λ=0) valószínűséget az L_ab = {λ : a < λ < b} események definiálják, amelyek gömbi kétszögek, és azokból a pontokból állnak, amelyek hosszúsága a és b közötti. Így, habár P(λ ∈ E | φ=0) és P(φ ∈ F | λ=0) mindegyike valószínűség­eloszlást definiál, egyiket gömbövek, másikat kétszögek segítségével. Nem meglepő, hogy P(λ ∈ E | φ=0) és P(φ ∈ F | λ=0) eloszlása különböző.

A gömb felosztásának bevezetését Kolmogorov javasolta, és a kört a felosztás részének tekintette. Jaynes szerint a nagykör fogalma nem egyértelmű határoló művelet nélkül. A szimmetriára való hivatkozás az egyenlítőt feltételezi, de a narancsevés a másodikat juttatja előnyhöz.

Jaynes határoló műveletének természetes választása a távolságmérésen alapul. Például a szokásos euklideszi távolságot választva egyenletes eloszlást kapunk a főkörökön. Ha azonban egy másik jelölést választunk, akkor az eredmény a $\cos \phi /2$ eloszlás. Általában, ha definiálva van a távolság, a feltételes eloszlás választása a feltételes eloszlás természetes választása a megfelelő Hausdorff-tér szerint értelmezhető.

Matematikai kifejtés

A probléma megértéséhez azt kell figyelembe venni, hogy egy sűrűség­függvénnyel bíró véletlen változót a sűrűség­függvény csak egy μ mérték szerint jellemez. Az eloszlás leírásához mindkettőre szükség van. Ekvivalensen, lehet teljesen definiálni a teret és az f sűrűségfüggvényt is.

Legyen Φ és Λ valószínűségi változó, értékeiket pedig vegyék fel rendre az Ω₁ = [-π/2,π/2] illetve az Ω₂ = [-π,π] intervallumokból. Egy {Φ=φ,Λ=λ} esemény az S(r) r sugarú gömbön kijelöl egy pontot. Definiáljuk az

$x=r\cos \phi \cos \lambda$

$y=r\cos \phi \sin \lambda$

$z=r\sin \phi$

koordináta­transzformációt. Ezzel kapjuk az

$\omega _{r}(\phi ,\lambda )=\left|\left|{\partial (x,y,z) \over \partial \phi }\times {\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right|\right|=r^{2}\cos \phi \$ térfogatelemet. Továbbá, ha φ és λ valamelyike rögzített, az

$\omega _{r}(\lambda )=\left|\left|{\partial (x,y,z) \over \partial \phi }\right|\right|=r\ ,\quad \mathrm {illetve}$

$\omega _{r}(\phi )=\left|\left|{\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right|\right|=r\cos \phi \$

térfogat­elemeket kapjuk.

Jelölje $\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\phi ,d\lambda )=f_{\Phi ,\Lambda }(\phi ,\lambda )\omega _{r}(\phi ,\lambda )d\phi d\lambda$ a ${\mathcal {B}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$ szorzatmértéket, melynek sűrűsége $f_{\Phi ,\Lambda }$ az $\omega _{r}(\phi ,\lambda )d\phi d\lambda$ szerint, és legyen :$\mu _{\Phi }(d\phi )=\int _{\lambda \in \Omega _{2}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\phi ,d\lambda )\ ,$

$\mu _{\Lambda }(d\lambda )=\int _{\phi \in \Omega _{1}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\phi ,d\lambda )\ .$

Ha feltesszük, hogy $f_{\Phi ,\Lambda }$ egyenletes, akkor

$\mu _{\Phi |\Lambda }(d\phi |\lambda )={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\phi ,d\lambda ) \over \mu _{\Lambda }(d\lambda )}={\frac {1}{2r}}\omega _{r}(\phi )d\phi \ ,\quad \mathrm {and}$

$\mu _{\Lambda |\Phi }(d\lambda |\phi )={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\phi ,d\lambda ) \over \mu _{\Phi }(d\phi )}={\frac {1}{2r\pi }}\omega _{r}(\lambda )d\lambda \ .$

Így $\mu _{\Phi |\Lambda }$ egyenletes eloszlású az $\omega _{r}(\phi )d\phi$ szerint, de nem egyenletes a Lebesgue-mérték szerint. Másrészt $\mu _{\Lambda |\Phi }$ sűrűség­függvénye egyenletes $\omega _{r}(\lambda )d\lambda$ és a Lebesgue-mérték szerint is.

Források

• Jaynes, E.T.. 15.7 The Borel-Kolmogorov paradox, Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press, 467–470. o. (2003). ISBN 0-521-59271-2 
  • Fragmentary Edition (1994) (pp. 1514–1517) (PostScript format)
• Kolmogorov, Andrey. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (german nyelven). Berlin: Julius Springer (1933) 
  • Translation: Kolmogorov, Andrey. Chapter V, §2. Explanation of a Borel Paradox, Foundations of the Theory of Probability, 2nd, New York: Chelsea, 50–51. o. (1956). ISBN 0-8284-0023-7. Hozzáférés ideje: 2018. szeptember 21. 
• Pollard, David. Chapter 5. Conditioning, Example 17., A User's Guide to Measure Theoretic Probability. Cambridge University Press, 122–123. o. (2002). ISBN 0-521-00289-3 

• Mosegaard, K., & Tarantola, A. (2002). 16 Probabilistic approach to inverse problems. International Geophysics, 81, 237-265.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Borel–Kolmogorov paradox című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.