Bolzano–Darboux-tétel

A Bolzano–Darboux-tétel az analízisben a Bolzano-tétel egyenes következménye. Azt mondja ki, hogy minden folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. Néha a tételt félreérthetően Darboux-tételnek is nevezik.

A tétel

Ha f:J$\rightarrow$R folytonos függvény, akkor minden, az értelmezési tartományában lévő I intervallum esetén f(I) is intervallum.

A tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha f: [a,b] $\rightarrow$ R folytonos függvény és f(a) ≠ f(b), akkor tetszőleges f(a) és f(b) közötti y értékhez létezik olyan x ∈ (a,b), hogy f(x) = y. (Az egyenértékű megfogalmazásra vonatkozóan lásd: Darboux-tulajdonság.)

Bizonyítás

Előrebocsátjuk, hogy a H ⊆ R halmaz pontosan akkor intervallum, ha minden a,b ∈ H esetén az (a,b) nyílt intervallum része H-nak. Belátjuk, hogy f(I) ilyen tulajdonságú.

Legyenek az y₁ és y₂ f(I)-beli pontok olyanok, hogy y₁ < y₂. Világos, hogy léteznek olyan I beli x₁ és x₂ pontok, hogy y₁=f(x₁) és y₂=f(x₂). Mivel f függvény és y₁ ≠ y₂, ezért x₁ ≠ x₂. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy x₁ < x₂ (ellenkező esetben nevezzük át őket úgy, hogy teljesüljön a reláció).

A nyílt (y₁,y₂) intervallum része f(I)-nek, ugyanis legyen y ∈ (y₁,y₂) tetszőleges. Ezzel a ponttal definiáljuk a zárt intervallumon értelmezett

$f_{y}:[x_{1},x_{2}];x\mapsto f(x)-y$

leképezést. Ez folytonos, f_y(x₁)=y₁-y<0 és f_y(x₂)=y₂-y>0, így a Bolzano tétele szerint létezik zérushelye, mégpedig ez csak a nyílt (x₁,x₂) intervallumban lehet. Ha viszont x ∈ (x₁,x₂), olyan, hogy f_y(x) = 0, akkor f(x)-y=0 és

$y=f(x)\,$

s mivel y tetszőleges volt, ezért az egész nyílt intervallum része f(I)-nek.

Természetesen y₁=f(x₁) és y₂=f(x₂) miatt a zárt intervallum is része f(I)-nek. QED

Általánosítás

Tetszőleges $T_{1}$ és $T_{2}$ topologikus terek esetén ha $f$ : $T_{1}$$\rightarrow$$T_{2}$ folytonos és $C$ ⊆ $T_{1}$ összefüggő, akkor $f$ ($C$) is összefüggő. Figyelembe véve, hogy egy $C$ ⊆ R halmaz pontosan akkor összefüggő az euklideszi metrika szerint, ha $C$ intervallum, ez valóban a fenti tétel általánosítása.