Bartlett-próba

A statisztikában a Bartlett-próba (lásd Snedecor és Cochran, 1989) segítségével eldönthetjük, hogy a minták egyenlő varianciájú populációkból származnak-e. Ha a populációk varianciája azonos, azt homoszkedaszticitásnak vagy homogenitásnak nevezzük. Néhány statisztikai próba, például a varianciaanalízis, azt feltételezi, hogy a vizsgált populációk varianciája azonos. A Bartlett-próba segítségével ez a feltételezés igazolható.

A Bartlett-próba során null- és alternatív hipotézist állítunk fel. E célból számos vizsgálati eljárást dolgoztak ki. Az átlagos négyzetes hiba (Mean Square Error = MSE) tesztelési módszere, illetve becslőfüggvények miatt érdemes a Bartlett-próbát használni. Ez a vizsgálati módszer azokat a statisztikai eseteket veszi alapul, amelyeknek mintavételi eloszlása megközelítőleg Khí-négyzet eloszlás k-1 szabadsági fokkal, ahol k az n₁, n₂... n_k méretű véletlenszerű minták különböző varianciájú független normál populációkból származnak.

A Bartlett-próba érzékeny a normális eloszlástól való eltérésre. Vagyis ha a minták nem normális eloszlású populációkból származnak, akkor a Bartlett-próba csak a nem-normál eloszlás tesztelésére használható. A Levene-próba és a Brown-Forsythe-próba alternatívák lehetnek a Bartlett-próba helyett, mivel kevésbé érzékenyek a normalitástól való eltérésre.

A próba Maurice Stevenson Bartlettről kapta a nevét.

Jellemzői

A Bartlett-próba nullhipotézise a következő, H₀: minden k populáció varianciája egyenlő, míg az alternatív hipotézis szerint legalább két populáció varianciája eltér egymástól.

Ha van k számú mintánk, melyek mérete n_i és a minták varianciája $S_{i}^{2}$, akkor a Bartlett-próba egyenlete

$\chi ^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}$,

ahol $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$

és $S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i}(n_{i}-1)S_{i}^{2}$ az összesített becslése a varianciának.

A próba egyenlete megközelítőleg $\chi _{k-1}^{2}$ eloszlással rendelkezik. Így a null-hipotézist elvetjük ha $\chi ^{2}>\chi _{k-1,\alpha }^{2}$ (ahol $\chi _{k-1,\alpha }^{2}$ a felső vége a kritikus értéknek a $\chi _{k-1}^{2}$eloszláskor.)

A Bartlett-próba egy módosított változata a kapcsolódó valószínűségi hányados próbának, mely feladata hogy jobban megbecsülje a $\chi _{k-1}^{2}$ eloszlást (Bartlett, 1937).

Megjegyzések

A próba egyenlete néhány forrás szerint tizes alapú logaritmusban az alábbiak szerint írandó:

$\chi ^{2}=2.3026{\frac {(N-k)\log _{10}(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\log _{10}(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}$

Források

• Bartlett, M. S. (1937). "Properties of sufficiency and statistical tests". Proceedings of the Royal Statistical Society, Series A 160, 268–282
• Snedecor, George W. and Cochran, William G. (1989), Statistical Methods, Eighth Edition, Iowa State University Press.

További információk

A Bartlett-próba NIST-oldala