Adjungált (komplex algebra)

Az $A$ komplex mátrix adjungáltján (vagy Hermite-féle transzponáltján) elemenkénti konjugáltjának transzponáltját értjük. Az $A$ adjungáltját $A^{*}$, vagy Hermite neve után $A^{H}$ jelöli, tehát $A^{H}={\bar {A}}^{T}$. Kvantummechanikában előfordul az $A^{\dagger }$ jelölés is az adjungált mátrixra.

Érdemes megjegyezni, hogy az egyező név ellenére a fogalom nem analóg a klasszikus adjungálttal. A valós transzponálttal azonban igen, voltaképpen annak kiterjesztése.

Példa

Legyen $A$ a következő mátrix:

$A={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

Az adjungált kiszámolásához transzponálni kell a mátrixot, tehát

$A^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}},$

majd pedig minden elemét komplex konjugálni:

$A^{H}={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}.$

A transzponálás és konjugálás műveletét felcserélve is ugyanazt a mátrixot kapjuk végeredményül.

Az adjungált tulajdonságai

Legyenek $A$ és $B$ komplex mátrixok, $c$ komplex szám. Ekkor

• $(A^{H})^{H}=A$
• $(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}$
• $(cA)^{H}={\overline {c}}A^{H}$
• $(AB)^{H}=B^{H}A^{H}$.
• $(A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}$, amennyiben $A$ invertálható
• $\det(A^{H})={\overline {\det(A)}}$, amennyiben $A$ négyzetes mátrix, ahol $\det$ a determinánst jelöli. Ebből következik, hogy az adjungált mátrix sajátértékei az eredeti mátrix sajátértékeinek komplex konjugáltjai.

Források

• Wettl Ferenc: Haladó lineáris algebra. Euklideszi tér, ortogonalizáció. algebra.math.bme.hu. BME Matematika Intézet (2017. február 28.) (Hozzáférés: 2018. január 7.) (előadásjegyzet, PDF) arch
• Siegfried Bosch. Lineare Algebra, 5 (német nyelven), Springer Berlin Heidelberg (2014). ISBN 978-3-642-55260-9