Abel–Plana-formula

A matematikában az Abel–Plana-formula egy összegzési formula, amit egymástól függetlenül fedezett fel Niels Henrik Abel (1823) és Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820). Azt állítja, hogy ha az f függvény holomorf a Re(z) ≥ 0 félsíkon, és |f| növekedése korlátozható az C/|z|^1+ε függvénnyel, akkor

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.$

Az előző feltételek elégségesek, de nem szükségesek, gyengébb határokkal is teljesül az összefüggés.(Olver 1997, p. 290)

Alkalmazására példa a Hurwitz-féle zéta-függvény:

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dt}{e^{2\pi t}-1}}.$

Abel változata az alternáló összegekre:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\sinh(\pi t)}}\,dt.$

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Abel–Plana formula című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Abel, N.H. (1823), Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies
• Butzer, P. L.; Ferreira, P. J. S. G. & Schmeisser, G. et al. (2011), "The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis", Results in Mathematics 59 (3): 359–400, ISSN 1422-6383, doi:10.1007/s00025-010-0083-8, <http://dx.doi.org/10.1007/s00025-010-0083-8>
• Olver, Frank William John (1997), Asymptotics and special functions, AKP Classics, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0
• Plana, G.A.A. (1820), "Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites", Mem. Accad. Sci. Torino 25: 403–418