Hurwitz-féle zéta-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában a Hurwitz-féle zéta-függvény a zéta-függvények egyike. Formális definíciója s, q komplex argumentumokra, ha Re(s) > 1 és Re(q) > 0:

A fent megadott tartományon abszolút konvergens, és kiterjeszthető a komplex síkra úgy, hogy s≠1. A Riemann-féle zéta-függvény ennek egy speciális esete: ζ(s,1).

Hurwitz-féle zéta-függvény, ha q=1/3. Tartományszínezéses módszerrel generálva a Matplotlib felhasználásával. A piros szín pozitív, a kékeszöld negatív valós értékeket jelez[1]

Analitikus folytatás[szerkesztés]

Hurwitz-féle zéta-függvény, ha q=24/25

Ha , akkor a függvény definiálható, mint:

ahol az integráció útvonala hurok a negatív tengely körül. Ezzel analitikusan folytatható s-ben.

A Hurwitz-féle zéta-függvény ezzel a folytatással meromorf, ami minden komplex számra definiálható, amire . Az helyen elsőrendű pólusa van, és reziduuma 1. A konstans term

ahol a gamma-függvény, és a digamma-függvény.

Sorfejtés[szerkesztés]

Hurwitz-féle zéta-függvény, mint q függvénye. Itt s rögzített, s=3+4i

Helmut Hasse konvergens Newton-sor reprezentációt definiált minden valós q > 0 és minden s ≠ 1 esetére 1930-ban:[2]

A sor egyenletesen konvergál az s-sík kompakt halmazain egy egészfüggvényhez. A belső összeg érthető, mint n-edik hátradifferenciálja; azaz,

ahol Δ az előredifferenciál operátor. Tehát

Integrál reprezentáció[szerkesztés]

A függvény integrálreprezentációja Mellin-transzformációval kapható:

ha és

Hurwitz képlete[szerkesztés]

Hurwitz képlete:

ahol

a zéta egy reprezentációja, ami érvényes and s > 1. Itt a polilogaritmus.

Függvényegyenlet[szerkesztés]

A függvényegyenlet kapcsolatot teremt a jobb és a bal félsíkon felvett értékek között. Egész esetén

fennáll minden s értékre.

Taylor-sorok[szerkesztés]

A zéta függvényt a második argumentumában vett parciális deriválás eltolja:

Emiatt a Taylor-sornak különböző árnyékformája van:

Alternatívan,

ahol .[3]

Közeli rokon a Stark–Keiper formula:

ami egész N-ekre és tetszőleges s-re teljesül. Lásd még Faulhaber képletét hasonló kapcsolatért egészek hatványainak véges összegével.

Laurent-sor[szerkesztés]

A Laurent-sorkifejtés használható a Stieltjes-konstansok definiálásához:

Speciálisan és .

Fourier-transzformált[szerkesztés]

A Hurwitz-féle zéta-függvény s szerinti diszkrét Fourier-transzformáltja a Legendre-féle khi függvény.

Kapcsolat a Bernoulli-polinomokkal[szerkesztés]

A fent definiált függvény a Bernoulli-polinomok általánosítása:

ahol a z komplex szám valós része. Alternatívan

Speciálisan esetén:


Kapcsolat a Jacobi-féle théta-függvénnyel[szerkesztés]

Ha a Jacobi-féle théta-függvény, akkor

teljesül minden és komplex, de nem egész z esetén. Ha z=n egész, az összefüggés egyszerűsíthető:

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi forma függvényegyenlet a Riemann-féle zéta-függvényre, és ez Riemanntól származik. A különbség annak tulajdonítható, hogy a Jacobi-féle théta-függvény határértéke a Dirac-delta z-ben, ha .

Kapcsolat a Dirichlet-féle L-függvényekkel[szerkesztés]

Racionális argumentumokra a Hurwitz-féle zéta-függvény kifejezhető Dirichlet-féle L-függvények lineáris kombinációjaként, és fordítva: A Hurwitz-féle zéta-függvény egyenlő a ζ(s) Riemann-féle zéta-függvénnyel ha q = 1, ha q = 1/2 akkor (2s−1)ζ(s),[4] és ha q = n/k ahol k > 2, (n,k) > 1 és 0 < n < k, akkor[5]

és az összeg végigfut az összes Dirichlet-karakteren mod k. Megfordítva, tekintsük a következő lineáris kombinációt:[4]

Teljesül még a multiplikációs tétel:

ahol a hasznos általánosítás az eloszlás reláció[6]

(Ez utóbbi akkor teljesül, ha q természetes szám, és 1 − qa nem.)

Nullhelyek[szerkesztés]

Ha q = 1, akkor éppen a Riemann-féle zéta-függvényt kapjuk vissza. Ha q = 1/2, akkor a Riemann-féle zéta-függvény és egy egyszerű függvény szorzatát kapjuk, ami nehézzé teszi a nullhelyek keresését. Ha 0<q<1 és q≠1/2, akkor minden pozitív &epsilon-hoz van gyök az 1<Re(s)<1+&epsilon sávban. Ezt Davenport és Heilbronn bizonyította transzcendens esetre,[7] és Cassels algebrai irracionális esetre.[4][8]

Racionális értékek[szerkesztés]

A Hurwitz-féle zéta-függvénnyel több azonosság is levezethető a racionális számokra.[9] Az Euler-polinomok együtthatói:

és

Továbbá

ami teljesül, ha . Itt és a Legendre-féle khi-függvény segítségével vannak definiálva

és

A ν egész értékeire ezek kifejezhetők az Euler-polinomokkal. Ezek a relációkl megkaphatók a függvényegyenlet alkalmazásával a fenti Hurwitz-formulára.

Speciális esetek, általánosítások[szerkesztés]

A Hurwitz-féle zéta-függvény pozitív egész m-mel kapcsolódik a poligamma függvényhez:

Negatív egész −n számokra az értékek a Bernoulli-polinomokhoz kapcsolódnak:[10]

A Barnes-féle zéta-függvény a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása.

A Lerch-transzcendens a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása:

így

Hipergeometrikus függvény

ahol

Meijer-féle G-függvény

Alkalmazásai[szerkesztés]

A Hurwitz-féle zéta-függvény több különböző tudományterületen felbukkan. Legtöbbször a számelmélet használja, itt jól kidolgozott elmélete van. Fraktálok, dinamikai rendszerek esetén is megjelenik. Az alkalmazott statisztikában kapcsolódik a Zipf-törvény, és a Zipf–Mandelbrot-törvény. A részecskefizikában Julian Schwinger egy képletében is megjelenik, hogy pontos eredményt adjon egy Dirac-elektron párképződésére uniform elektromos mezőben.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
  2. Hasse, Helmut (1930), "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift 32 (1): 458–464, doi:10.1007/BF01194645, <https://eudml.org/doc/168238>
  3. Sablon:Cite arXiv
  4. a b c Davenport (1967) p.73
  5. Lowry, David: Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa. mixedmath. (Hozzáférés: 2013. február 8.)
  6. Modular Units, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, 13. o. (1981). ISBN 0-387-90517-0 
  7. Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936), "On the zeros of certain Dirichlet series", Journal of the London Mathematical Society 11 (3): 181–185, DOI 10.1112/jlms/s1-11.3.181
  8. Cassels, J. W. S. (1961), "Footnote to a note of Davenport and Heilbronn", Journal of the London Mathematical Society 36 (1): 177–184, DOI 10.1112/jlms/s1-36.1.177
  9. Given by Cvijović, Djurdje & Klinowski, Jacek (1999), "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (228): 1623–1630, DOI 10.1090/S0025-5718-99-01091-1
  10. Apostol (1976) p.264

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hurwitz zeta function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.