1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... sor első 15 000 részösszege

A matematikában az 1 − 2 + 3 − 4 + ··· egy végtelen alternáló sor, ami a pozitív egészekből áll váltakozó előjellel. Az első m tag összege:

Ez a sor divergens, vagyis parciális összegeinek nincs határértéke: (1, −1, 2, −2, ...). A 18. század közepén azonban Leonhard Euler ezt a paradox egyenlőséget írta fel:

Az egyenletet csak sokkal később sikerült matematikai pontossággal megérteni. Az 1890-es évektől Ernesto Cesàro, Émile Borel és mások jóldefinált módszereket gondoltak ki divergens sorok általánosított összegének meghatározására. Ezek közül több is az 14 általánosított összeget adta meg az 1 − 2 + 3 − 4 + ... sor esetén. Néhány módszer, például a Cesàro-összegzés nem konvergál, így megmutatja, hogy az összegzéshez szigorúbb módszer kell, például az Abel-szummáció.

Az 1 − 2 + 3 − 4 + · · · sor közel áll az 1 − 1 + 1 − 1 + ... Grandi-sorhoz. Euler ezek közös általánosításával foglalkozott; az 1 − 2n + 3n − 4n + ... sort vizsgálta. Ebből ered a bázeli probléma, ami elvezetett a függvényegyenletekhez, amiből a Dirichlet-féle éta-függvény és a Riemann-féle zéta-függvény is adódott.

Divergencia[szerkesztés]

Az (1, −2, 3, −4, ...) sorozat nem tart a nullához, emiatt az (1, −2, 3, −4, ...) sor divergál. Definíció szerint a sorok konvergenciáját részletösszegeik konvergenciája határozza meg, ám az (1, −2, 3, −4, ...) sor részletösszegei divergálnak:[1]

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

A részletösszegek sorozata minden pozitív és negatív egészt tartalmaz; ha a sor elejére odavesszük a nullát, akkor a nulla is, így minden egész előáll összegként, ezzel bizonyítva az egészek halmazának megszámlálhatóságát.[2] Ez a tulajdonság azt is mutatja, hogy a sorozatnak nincs határértéke, ugyanis minden javasolt x határértékre található olyan tagja a sornak, ami már az [x-1, x+1] intervallumon kívül esik, így 1 − 2 + 3 − 4 + ... divergál.

Az összegzés heurisztikái[szerkesztés]

Mivel az 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... tagok egy egyszerű mintát követnek, ezért a sorozat könnyen kezelhető eltolással és összegzéssel. Ha van értelme annak, hogy s = 1 − 2 + 3 − 4 + ..., ahol s egy jól meghatározott szám, akkor a következő manipulációk szerint s = 14:[3]

Tehát s = 14.

Az 1 − 2 + 3 − 4 + ..., négy, egymáshoz képest eltolt másolatának összeadása 1-et ad.A kép bal és a jobb oldala az 1 − 2 + 3 − 4 + ... két példányának és az 1 − 1 + 1 − 1 + .... két példányának összeadását ábrázolja

Habár a szokásos értelemben az 1 − 2 + 3 − 4 + ..., sornak nincs összege, az s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 14 egyenlet adja a legtermészetesebb választ, hogyha mégis definiálni szeretnénk ezt az összeget. Az összeg általánosítása divergens sorokra az összegzés vagy szummáció, ami bizonyos sorokra összeget definiál. Több módszer is létezik. A fenti manipuláció ezt bizonyítja: bármely lineáris és stabil összegzés az s = 14 összeget adja.[4] Továbbá, mivel

azért ezek a módszerek a Grandi-sorozatot is összegzik, és az összeg 1 − 1 + 1 − 1 + ... = 12.[4]

Cauchy-szorzat[szerkesztés]

1891-ben Ernesto Cesàro remélte, hogy a divergens sorozatok is matematikai pontossággal bevihetők az analízisbe: Azt állítják, hogy (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ..., és hogy mindkét oldal egyenlő 14-del.[5] Cesàro ezt egy előző évben megjelent tételének alkalmazásával kapta. Ez volt az első tétel az összegezhető divergens sorok elméletében. Ennek központi eleme az, hogy 1 − 2 + 3 − 4 + ... a 1 − 1 + 1 − 1 + ... és a 1 − 1 + 1 − 1 + ... Cauchy-szorzata.

Még a divergens sorok Cauchy-szorzata is definiálva van. Ekkor, ha Σan = Σbn = Σ(−1)n, akkor a Cauchy-szorzat tagjainak alakja

Ekkor a szorzatsor

Így ha egy módszer illeszkedik a Cauchy-szorzathoz, és az 1 − 1 + 1 − 1 + ... = 12 összeget adja, akkor szerinte 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 14. Ebből következik, hogy 1 − 1 + 1 − 1 + ... és 1 − 2 + 3 − 4 + ... összegezhetősége ekvivalens a lineáris, stabil és a Cauchy-szorzathoz illeszkedő módszerek esetén, vagyis ha az egyik összegezhető, akkor a másik is.

A 1 − 1 + 1 − 1 + ... a leggyengébb értelemben Cesàro-összegezhető, azaz (C, 1)-összegezhető, viszont 1 − 2 + 3 − 4 + ... a Cesàro-tétel egy szigorúbb formáját igényli,[6] ezért (C, 2)-összegezhető. Mivel a Cesàro-tétel stabil és lineáris, ezért a korábban kiszámított összegeket adja.

Módszerek[szerkesztés]

Cesàro és Hölder[szerkesztés]

A sorozat (H, 2) összege 14

Az 1 − 2 + 3 − 4 + ..., esetleg létező (C, 1) Cesàro-összegéhez a részösszegek számtani összegei kellenek. A részösszegek:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

a számtani közepek:

1, 0, 23, 0, 35, 0, 47, ....

Ez a sorozat nem konvergens, így 1 − 2 + 3 − 4 + ... nem Cesàro-összegezhető.

A Cesàro-összegzésnek két általánosítását ismerjük, amelyek közül az egyszerűbb a (H, n) sorozat, ahol n természetes szám. A (H, 1) módszer maga a Cesàro-összegzés. A magasabb számú módszerek szintén a közepek sorozatán alapulnak. A sorozat párosadik közepei 12-hez tartanak, míg a páratlanadikok a konstans 0 sorozat. Így a közepek közepei 0 és 12 közepéhez tartanak, vagyis 14-hez.[7] Így 1 − 2 + 3 − 4 + ... (H, 2)-összegezhető, és összege 14.

Ebben a jelölésben H Otto Hölder tiszteletére szerepel, aki 1882-ben bebizonyította a kapcsolatot az Abel-összegzés és a (H, n) összegzések között. Első példája az 1 − 2 + 3 − 4 + ... volt.[8] Az a tény, hogy 1 − 2 + 3 − 4 + ... (H, 2)-összege 14, garantálja az Abel-összegezhetőséget, és hogy az Abel-összeg is ennyi.

A Cesàro-összegzés egy másik gyakori általánosítása a (C, n) sorozat. Tudjuk, hogy (C, n) és (H, n) mindig ugyanazt az eredményt adja, de történelmi háttere különböző. 1887-ben Cesàro már közel volt a (C, n) sorozat definiálásához, de mindig csak néhány példája volt. Valamelyik (C, n) módszerrel összegezte 1 − 2 + 3 − 4 + ...,-et az 14 eredménnyel. A pontos módszert nem publikálta. Csak 1890-ben formalizálta (C, n)-módszereket, hogy kimutassa: a (C, n)-összegezhető és a (C, m)-összegezhető sorok szorzata (C, m + n + 1)-összegezhető.[9]

Abel-összegzés[szerkesztés]

Az 1−2x+3x2+...; 1/(1 + x)2; sorozat részösszegei és határértékei 1-nél

Egy 1749-es írásában Leonhard Euler megállapította, hogy a sor divergál, de mégis szeretett volna összeget rendelni hozzá:

Ha azt mondjuk, hogy 1−2+3−4+5−6 összege 14, akkor ez a kijelentés paradoxnak látszik. Az első 100 tag összege -50, az első 101 tagé azonban 51, ami elég messze van az 14-től, sőt, ez a különbség még tovább nő. De, ahogy azt már előbb megjegyeztem, az összeg szónak egy másik jelentést kell adni.[10]

Euler többször is javasolta az összeg általánosabb értelmezését. Az 1 − 2 + 3 − 4 + ... sor esetén ötlete az Abel-összegzésre hasonlít:

Többé nem lehet kétséges, hogy 1−2+3−4+5 + összege 14, mivel az 1(1+1)2 képlet kifejtéséből keletkezik, aminek értéke cáfolhatatlanul 14. Az ötlet jobban felismerhető, ha az 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c. generátorsort tekintjük, ami az 1(1+x)2 kifejtése. Ebbe x = 1-et helyettesítve éppen a szóban forgó sorozatot kapjuk.[11]

Ez többféleképpen is belátható az |x| < 1 értékekre. Ekkor

Vehetjük a jobb oldal Taylor-sorfejtését, vagy formálisan a hosszú polinomosztást. Euler gondolatmenetét követve bal oldalról elindulva szorozhatunk kétszer (1+x)-szel, vagy vehetjük az 1 − x + x2 − .... mértani sor négyzetét. Euler a továbbiakban a tagonkénti deriválást sugallja.[12]

Mai fogalmaink szerint az 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + ... sor nem definiál függvényértéket x = 1-ben, így az nem helyettesíthető be. Mivel azonban a függvény minden |x| < 1-re definiálva van, így vehetjük a határértéket, és ez már az Abel-szummáció:

Euler és Borel[szerkesztés]

Az 1214 Euler-összeg

Euler egy másik módszerrel próbálkozott: az általa kidolgozott Euler-transzformációval. A transzformált kiszámításához először elhagyja az előjeleket az alternáló sorból, így jelen esetben 1, 2, 3, 4, .... a kiindulási sorozat. Ennek az első elemét a0-lal jelöljük.

A következőkben kiszámítjuk a differenciákat. Ez most 1, 1, 1, 1, ..... Ennek első elemét Δa0-lal jelöljük. Az Euler-transzformáció a magasabb rendű differenciáktól és az iterációktól is függ, de sorozatunk másodrendű differenciái az azonosan nulla sorozat.

Ezekkel az előkészületekkel az Euler-transzformált:

Ma ezt így mondjuk: 1 − 2 + 3 − 4 + ... Euler-összegezhető, és összege 14.

Az Euler-összegezhetőségből egy másik összegezhetőség is következik. Az 1 − 2 + 3 − 4 + ... sor felírjuk egy másik alakban:

aminek van egy mindenütt egyenletesen konvergens rokon sora:

Így 1 − 2 + 3 − 4 + ... Borel-összege:

A mérlegek elkülönítése[szerkesztés]

Saichev és Woyczyński az elméleti fizikából átvett elvek alapján jutott az 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 14 következtetésre. A két általuk felhasznált elv az infinitezimális relaxáció és a mérlegek elkülönítése. Ezekkel az elvekkel a φ-szummációk egész családja definiálható, amelyek minden tagja az 14 összeget adja.

Ha φ(x) egy kétszer folytonosan differenciálható függvény (0, ∞)-en úgy, hogy φ(0) = 1 és φ(x) és xφ(x) határértéke +∞-ben nulla, akkor:[13]

Ez az Abel-összegzés általánosítása, ami szintén beletartozik ebbe a családba az φ(x) = exp(−x) paraméterrel. Az általánosítás belátható a tagok m szerinti párosításával és a kifejezés Riemann-integrállá való átalakításával. A Grandi-sorozat összegzésével az utóbbi lépés kiadja a középértéktételt, ami azonban a Taylor-tétel erősebb Lagrange-formáját igényli.

Általánosításai[szerkesztés]

Részlet az E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum 233. oldaláról. Euler hasonló sorozatokat összegez 1755 körül.

Az 1 − 1 + 1 − 1 + ... háromszoros Cauchy-szorzata 1 − 3 + 6 − 10 + ...,, ami a háromszögszámok alternáló sorozata. Ennek Abel- és Euler-összege 18.[14] A négyszeres Cauchy-összeg 1 − 4 + 10 − 20 + ..., a tetraéderszámok alternáló összege, melynek Abel-összege 116.

Egy másik általánosítás az 1 − 2n + 3n − 4n + ... n más értékeire. Pozitív egész n értékre ez az összeg adódik:[15]

ahol Bn Bernoulli-szám.

Páros n-ekre ez egyszerűsíthető:

Abel 1826-ban így írt erről: A divergens sorozatok az ördög művei, és szégyen, hogy vannak, akik bizonyításokban használják őket, ami sok boldogtalanságot és paradoxont okoz. Itt olyan szörnyűségre lehet gondolni, mint

0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.

ahol n pozitív egész szám. Ez egy olyan dolog, amin inkább csak nevetni lehet.[16]

Cesàro tanárának, Eugène Charles Catalannak is kétségei voltak a divergens sorozatok összegzésével szemben, így Cesàro is nehezen tudta elfogadni ezeket a módszereket. Kezdetben abszurdnak nevezte az 1 − 2n + 3n − 4n + ... sorozatok összegzési képleteit. 1883-ban arról írt, hogy ezek a képletek ugyan nem igazak, de valami miatt formálisan működnek. Végül 1890-ben a Sur la multiplication des séries írásában a definíciókkal kezdődően már a modern felfogás szerint építette fel a divergens sorozatok összegzésének képleteit.[17]

A sorozatot n nem egész értékeire is vizsgálták, így a Dirichlet-féle éta-függvényhez jutottak. Euler részben az éta függvényből kiindulva tanulmányozta az 1 − 2 + 3 − 4 + ... sorozatot, így jutott a Riemann-féle zéta-függvény egyenletéig. Euler korábban már híressé vált arról, hogy páros számokra kiszámította ezeknek a függvényeknek az értékeit, beleértve a bázeli probléma megoldását. Megpróbálta a páratlan számokra is megtalálni ezeket a függvényértékeket, de ez a probléma máig megoldatlan maradt. Az éta függvény könnyebben kezelhető Euler eszközeivel, mivel Dirichlet-sora mindenütt Abel-összegezhető. A zéta függvény Dirichlet-sora nehezebben vizsgálható ott, ahol a függvény is divergál.[18] Így például 1 − 2 + 3 − 4 + ... megfelelője a nem alternáló 1 + 2 + 3 + 4 + ... sor, ami a modern fizikában is megjelenik, de erősebb eszközöket igényel az összegzéshez.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Hardy p.8
  2. Beals p.23
  3. Hardy (p.6) ezt az átalakítást az 1 − 1 + 1 − 1 + ... Grandi-sorral végzi el.
  4. a b Hardy p.6
  5. Ferraro, p.130.
  6. Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
  7. Hardy, p.9. For the full details of the calculation, see Weidlich, pp.17–18.
  8. Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro criticizes Tucciarone's explanation (p.7) of how Hölder himself thought of the general result, but the two authors' explanations of Hölder's treatment of 1 − 2 + 3 − 4 + ... are similar.
  9. Ferraro, pp.123–128.
  10. Euler et al., p.2. Habár ez a cikk 1749-ben íródott, csak 1768-ban jelent meg.
  11. Euler et al., pp.3, 25.
  12. For example, Lavine (p.23) advocates long division but does not carry it out; Vretblad (p.231) calculates the Cauchy product. Euler's advice is vague; see Euler et al., pp.3, 26. John Baez even suggests a category-theoretic method involving multiply pointed sets and the quantum harmonic oscillator. Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... =-1/12 (PDF). math.ucr.edu (December 19, 2003). Hozzáférés ideje: March 11, 2007.
  13. Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
  14. Kline, p.313.
  15. Knopp, p.491; there appears to be an error at this point in Hardy, p.3.
  16. Grattan-Guinness, p.80. See Markushevich, p.48, for a different translation from the original French; the tone remains the same.
  17. Ferraro, pp.120–128.
  18. Euler et al., pp.20–25.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a(z) 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.