Vita:Banach–Tarski-paradoxon

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Nem akarok kötöszködni, nekem teljesen mindegy, de én eddig csak a Banach-Tarski-paradoxon elnevezéssel találkoztam. Rákerestem a google-ban mindkettőre és a magyar lapok közül 19:0 a B.T.-paradoxon javára a T.B.paradoxonnal szemben. Továbbá User:Kope a kiválasztási axióma cikkben B.-T.-paradoxonként használja és vajon kinek lehet releváns a véleménye ebben a kérdésben, ha nem az ELTE Számítógéptudományi Tanszék (egyik ex) vezetőjének ([1], [2])? De távol álljon tőlem a tekintélyelvre való hivatkozás. Ha te 100 matematikussal beszélgettél és abból 99 így használta, akkor minden rendben, legyen T.B.p. Mozo 2006. február 17., 18:13 (CET)

Angolul keresve még egyértelműbb a dolog, át is nevezem. --Tgr 2006. február 17., 18:29 (CET)

Ezért meg fogod Mathtól kapni, hogy nincs logika abban amit mondassz és hogy teljesen irreleváns, meg klikkmittomémmi ... ugyanis Math azt állította, hogy a magyarok "szokták inkább így ismerni" a BTp.-t. :) Mozo 2006. február 17., 18:53 (CET)

Illetve megvárom előbb valaki nyelvtudor véleményét: a két név között nem nagykötőjelnek kéne lenni? --Tgr 2006. február 17., 18:30 (CET)

Valóban úgy tűnik (nagykötőjel), hogy lehetne Banach–Tarski-paradoxon is.Mozo 2006. február 17., 18:53 (CET)

A Tarski-Banach elnecezes oka az, hogy Tarski lengyel, es a szoci tabor ot tette elore. Az interntes cikkek meg rendszervaltas utaniak. Vaaloban a magyar szokas szamit. De felolem.. Lenyegtelen dolgokon nem vitazok. math

Tarski lengyel és ez a fő ok? Banach talán zulu volt?:-)))

--194.152.154.1 2006. február 17., 19:31 (CET)

Ha a kötőjel a bajotok, az meg nyelvtanilag kötőjellel helyes, bár nem ezzel, hanem a nagyon hosszúval (---) :D de tényleg, majd a paradoxon előtt kis kötőjel. Mind a három szó és a kötőjelek pedig szóközökkel elválasztva egymástól... EasyWalker ^vita 2009. január 22., 06:07 (CET)

Vágás

Nem tetszik a "fel lehet vágni" kifejezés az első bekezdésben. Épp ez a lényeg, hogy felvágni nem lehet, csak átdarabolni. És ez nagy különbség. Ezért érzik az emberek paradoxonnak. (Persze egyébként is meglepő, de ha a vágni ige sugallta dolgot sikerül elfelejteni, akkor könnyebben emészthető.) Nagy kedvencem a tétel, gondoltam is már rá, hogy írok róla bővebben. Speciel Banach is lengyel volt, így nem hiszem, hogy az elnevezésben a szoci tábor bármilyen szerepet vállalt volna. Péter ✎ 2006. február 17., 20:00 (CET)

Nem tudom, de elfogadom a véleményedet (inkább egyetértek vele). Ha azt akarod mondani, hogy a "felvágás" szemléletes jelentésű szó, és pontosan azért helytelen a használata, mert az átdaraboláshoz használt idomok "végtelenek" (tkp. amolyan fraktálszerű izék, de ha pontatlan vagyok, üss le), ezért a valóságban (technikailag előállítható formában) nem létezhetnek, akkor igazad van.

♥♥♥: Gubb  ✍   

2006. február 17., 20:17 (CET)

Igen, erre gondoltam. Magamtól nem pont így fogalmaztam volna, de ez így rendben van. Nem tudom, hogy Math akarja-e pontosítani ezt a cikket (bár ezt a mondatot pont Tgr tette bele), de ha nem, akkor előbb-utóbb én beleteszem a rendes tételt. Péter ✎ 2006. február 17., 20:19 (CET)

Rendben. Nekem az "anyag kvantumos szerkezete" kifejezés sem tetszik teljesen, de mivel nem értek a fizikához, nem tudom eldönteni, rendben van-e.

♥♥♥: Gubb  ✍   

2006. február 17., 20:22 (CET)

Legyen vagas helyett darabolas. A nevben akkor lehet, hogy rosszul emlekszem. Az anyagnal az a lenyeg, hogy nem folytonos.

math

Stámomra sem a vágásos, sem a kvantumos dolog nem olyan központi fontosságú probléma, oldjátok meg nyugodtan, ahogy jónak gondoljátok.

♥♥♥: Gubb  ✍   

2006. február 17., 20:42 (CET)

A paradoxon feloldása

A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy a darabolás nem mérhető darabokat ad, tehát fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrezhozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.

Ez a bekezdés részben az angol verzión alapul, és én nem vagyok arról meggyőződve, hogy filozófiai szempontból jó irányba tapogatóznak az angol kollégák (ezt Gubb már többször is pedzegette). Az, hogy gond van vele Math is észrevette (tulajdonképpen most elismerem az helyes intuícióját ezügyben :) ezért írta bele a kvantumos részt. Ami a szövegben a probléma, hogy a "mérhetőség" matematikai fogalmát úgy érti mint a fizikai mérhetőséget. Sajnos azt kell, hogy mondjam, hogy ha egy fizikusnak mutatnának a természetben egy fraktált biztosan meg tudná mérni (ha máshogy nem a "szivacs" által kitöltött térfogatra adna egy közelítő becslést).

Ezt a "nincs olyan kés, amivel ezt a vágást el lehetne végezni" érvet már máshol is hallottam ... de még nem is a késsel van a probléma. Gubbnál a "végtelenség" kifejezés fordult elő. Ráadásul az is igaz, hogy az átdarabolás ugyebár véges sok részre történik (modjuk 10^10000 db részre). A matematikai mérhetőséget azért nem jó összekeverni a fizikaival, mert ha teszem azt egy furi univerzumban (egy lehetséges világban) a paradoxon úgy szólna, hogy mérhető részekre bomlik fel a gömb, de ezek jóval kisebbek, mint az adott világ határozatlansági elve által még a klasszikus testek által elfoglalhatónak deklarált térfogat, akkor sem lehetne íly módon "aranyat csinálni" és akkor is fennállna a paradoxon.

Nem a késsel vagy az anyaggal van a baj, hanem hogy az adott késsel mit csináljunk és itt nem bonyolultságra, fraktálszerűségre gondolok, hanem tökéletes tanácstalanságra. Tarski a cikkeiben általában óvakodik az "egzisztenciális előlfeletvésektől", márpedig a kiv. ax. egy tökéletesen inkonstruktív egzisztencia axióma. A halmazelmélet axiómatizálására kell visszautalnom. Ez (a ZF rendszer) abból indul ki, hogy az osztályba foglalás művelete iterálható. A meghatározottsági axiómán kívül lényegében mindegyik axióma egzisztenciaaxióma. Mégis van különbség köztük, mert ezek egy része csak az iteráció effektív, kézzelfogható (nyelvieg kivitelezhető {{a,b}, {{a,b}, {a}, {{{b}}} }, ... ) fogalmát legitimizálja (páraxióma, hatványhalmaz, unió, részhalmaz, végtelenségi), míg a másik rész pont a halmazelmélet művelésekor tapasztalt, általánosnak tűnő jelenségeknek, tehát néhány intuitív tételnek a posztulálása. A kiv ax. azért veszélyes, mert nem egy nyelvi konstrukciót legitimizál, hanem azt állítja, hogy a formális nyelv szintjén "ilyen konstrukció létezik". Míg a hatványhalmaz axióma azt mondja, hogy a P(H) nyelvi objektum halmaz, addig a kiv. ax. csak annyit,

$(\exists f)$ (f függvény és f teljesíti az A(f) tulajdonságot)

ahelyett, hogy mutatna, vagy konstruálna olyan formális nyelvi T termet, mellyre igaz:

(T függvény és T teljesíti az A(T) tulajdonságot)

Pedig pont T "mondaná" meg, hogy a kés mit csináljon, míg a kiv. ax. pusztán annyit tesz, hogy axiómaszinten rögzíti egy ilyen eljárás létezésének tényét. Tehát míg P(H) vagy T nyelvi értelemben is létezik (kimondható), addig egy fenti tulajdonságú f, csak a halmazelmélet egy modelljében képes testet ölteki -- amit ugyebár még nem találtak. Mozo 2006. február 17., 21:57 (CET)

Úgy tűnik, olyan nagy butaságnak gondoltátok amit írtam, hogy undorral elfordultatok tőle :) Megpróbálom rövidebben és velősebben.

én még mindog emésztem. Kb. egy éven belül válaszolni tudok arra, hogy érteni fogom-e valaha, további két éven belül eldöntöm, egyetértek-e vele.

♥♥♥: Gubb  ✍   

2006. február 18., 18:54 (CET)

1. A BTp kontraintuitív. Olyan átdarabolás létezését állítja, mely ellenkezik a térről és az anyagról alkotott képünkkel. Megalkotásának célja az volt, hogy a kiválasztási axióma "túl erős" voltát szemmel láthatóan módon bizonyítsa.

2. Az átdarabolás valóságos, gyakorlati kivitelezése gondot okozhat, de szerintem nem ez a paradoxon igazi feloldása (azaz kontraintuitivitásának forrása). Vannak ugyanis olyan geometriai eljárások, melyek ugyan kivitelezhetetlenek a gyakorlatban, de valamennyire gondolati úton követhetők, például a gömbkifordítás ([3]), melyet először csak létezését bizonyították, majd az eljárást is megtalálta egy (vak!) matematikus.

3. A probléma az, hogy a BTp esetén nem igen van esély a gömbkifordításhoz hasonló szerkesztési eljárás megtalálására. Ezt leginkább a jólrendezési tétel példázza jól. Ha tetszőleges H halmaz felett a halmazelmélet axiómái segítségével megkonstruláható lenne az őt jólrendező rendezés, akkor ez egyben azt is jelentené, hogy a kiválasztási axiómában szereplő kiválasztó függvény is megszerkesztehtő lenne, ugyanis a kiválasztási axióma ekvivalens a jólrendezési tétellel. De a kiv. ax. független a maradékaxiómarendszertől, így nem létezhet ilyen konstruktív előállítása a jólrendezésnek. Azaz elvileg kizárt hogy valaki ilyen általános eljárást találjon az akármilyen távoli jövőben.

4.Ha ez a BTp esetén is így van, akkor lehet, hogy elvileg kizárt, hogy bárki találjon konstruktív megoldást a problémára. Mozo 2006. február 18., 18:38 (CET)

Én nem gondoltam butaságnak, csak nem értem mire akarsz kilyukadni. Van egy matematikai tétel (hagyományosan paradoxonnak nevezték a meghökkentő állítás miatt), aminek akármi lehetett a motivációja, matematikai tétel, és kész. Vágásról, meg késről, meg anyag folytonosságról, illetve nem-folytonosságról nem sok értelme van szerintem ennek kapcsán beszélni. Mert ezekről nem szól a tétel. A matematikai 3-dimenziós térben lévő testekről szól, semmi másról. És az itt definiált darabolásról, illetve az átdarabolhatóság fogalmáról.

Az meg, hogy van-e konstruktív megoldás a problémára, az nem szokta a matematikusok nagy részét érdekelni. Rengeteg példa van arra, hogy csak egzisztencia-bizonyítás van valamire.

Szóval mire akarsz kilyukadni? Péter ✎ 2006. február 18., 18:56 (CET)

Lehet, hogy homályosan fogalmaztam és azért nem érzékeled "mire akarok kilyukadni", de azt gondolom, inkább szemléletbeli különbség van köztünk. Te matematikai állítást vársz tőlem, de olyanokról nem szóltam, én matematikafilozófiai állításokat tettem, és ha ezt figyelembeveszed, máris nagyon sok kérdés tárulhat fel előtted is. Hiszen mi értelme van a BTp-nak? 1) egy matematikus számára semmi, egyszerűen egy tétel, vagy ha erősködni akarunk, egy érdekes vagy vicces tétel 2) egy matematikafilozófus (pl. Tarski) számára azonban kardinális jelentősségű: Igaz-e a kiválasztási axióma?, Mi tesz igazzá egy axiómát? Megtalálható-e a sok modell közül a szándékolt interpretáció? és A ZFC halmazelmélet a halmazelmélet szándékolt axiomatizálása-e? illetve Mi a BTp-t kontraintuitivitásának forrása?. Megértem, ha nem érdekel a téma mint matematikust, engem viszont, mint a matematikafilozófiát szerető embert érdekelnek a fent említett kérdések és ami a legfontosabb, nem valami "lila köd" típusú heidegeri választ keresek ezekre, hanem az analitikus filozófia kemény válaszait. Mozo 2006. február 19., 10:01 (CET)

Most már értem, hogy mit mondasz. Még csak az sem igaz, hogy nem érdekel, hanem az az igazság, hogy a filozófiához egy cseppet sem konyítok. Értem amit mondasz, de kétségtelenül az a helyzt, hogy én a matematika felől közelítek, vagyis az érdekel, hogy ha feltesszük AC-t, akkor igaz a BTp. Viszont nagyon fontosnak gondolom, hogy ennek van filozófiai vonatkozása, ezért ennek szellemében kéne megszervezni a szócikket. Én a matematikai részben szívesen részt veszek, de az egész szerkezetet ki kéne találni okosan. Javaslat? Péter ✎ 2006. február 19., 13:50 (CET)

Csak annyit szolnek hozza, hogy a paradoxon feloldasanak magyarazataban szerintem nagyon fontos az, hogy nem merheto halamzokrol van szo. Hiszen:

1) Merheto halamzokra nem bizonyithato a tetel, tenyleg keptelenseget ad.

2) Ami a dologban a meglepo, ugyebar az, hogy a ket gomb merteke ketszer akkora, mint az egy gombbe. Tehat ami a tetelben valojaban, elsore meglepo, az pontosan amerhetoseggel kapcsolatos latszolagos ellentmondas.

3) Valoban nem tudunk olyan alakzatokat kesziteni a valosagban, amik merhetetlenek.

Tehat a fo feloldas igenis a merhetoseg.

--Math 2006. február 19., 14:24 (CET)

Math, miért rgaszkodsz annyira ahhoz, hogy paradoxon van itt? Nincs paradoxon. A tétel nem valódi gömbökről szól, és nem beszél a mérhetőségről. Vicces, hogy ennyit vitatkozunk egy matematikai tételen. Szerintem nincs mit vitatkozni. Meg kéne írnia cikket. (Ez magamnak is szól.) :-) Péter ✎ 2006. február 19., 16:44 (CET)

Persze, nincs paradoxon. Csak hat ugy nevezik. En legszivesebben a szocikket B-T tetelnek neveznem el es a B-T paradoxon szocikk csak egy redirect lenne erre. Mert valojaban csak egy tetelrol van szo, ami antiintuitiv.

--Math 2006. február 19., 17:35 (CET)

Lehet, hogy kötekedés, de én ezt az "antiintuitív" dolgot is hanyagolnáma tizenkilencedik század óta keletkezett fizikai ismereteink birtokában. Nagyon is intuitív dolog, hogy ha egy nem-folytonos teret folytonosnak képzelünk, akkor olyasmiket is beleképzelhetünk, amik valójában nincsenek benne. Az euklideszi gömb nem ugyanaz, mint a fizikai alma, és kész - az, hogy az általános iskolákban és gimnáziumokban ezt a hülyeséget (bocs) tanítják, nem a matematika hibája. Bár te is ezt hangsúlyoztad. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. február 19., 18:58 (CET)

Szerintem most már nagy az egyetértés, meg kéne írni a cikket. Jogos lenne Math felvetése, hogy alapvetően B-T-tétel lenne az igazi, de annyira meghonosodott a paradoxon elnevezés, mint semmikor máshol, ezért érdemes megtartani. És inkább a B-T-tételt átirányítani erre. De a legfontosabb, hogy írjunk egy jó szócikket. Csak tényleg nem tudom, hogy kezdjek hozzá, mert én csaka matematika felől tudok közelíteni. Péter ✎ 2006. február 19., 20:58 (CET)

Ezt a síkidomos példát vegyük ki, mert nagy baromság

A paradoxon egyik legegyszerűbb síkbeli szemléltetése: a felső négyzet 64 (8x8) egység területű, az alsó téglalap 65 (13x5), a felületet viszont négy darab egybevágó alakzat hozza létre

Az ábrán lévő síkidomok ugyanis nem egyeznek meg a fentin lévőkkel. A piros háromszög átfogójának iránytangense 3/8, azaz 0,375, az őt követő trapézé meg ((5-3)/5), azaz 0,4. Így a fenti sárga háromszög átfogója meg kell, hogy törjön (vagy a piros átfogója nem pont 3). – KGyST ^vita 2009. november 18., 14:42 (CET)

Nyilvánvalóan kell lennie valami turpisságnak a paradoxon minden megfogalmazásában, mivel mindenki tudja, hogy fizikailag lehetetlen egységnyi testből két egységnyit csinálni pusztán darabolgatással és a darabok összerakásával. Ennyi erővel magát a paradoxont is törölni lehetne, mert az is nagy baromság józan ésszel. Úgy gondolom, hogy ha a Scientific American jónak tartotta közölni ezt az ábrát, akkor annak oka van. Az ok pedig vszeg ott keresendő, hogy magának a paradoxonnak a feloldása is hasonló eszmefuttatást igényelne. L András^{Itt megtalálsz} 2009. november 18., 16:49 (CET)

Jó, hagyjátok bent, csak ez így egyszerűen nem igaz. (8+5)/5 != 8/3. – KGyST ^vita 2009. november 18., 20:36 (CET)

• Még szép, hogy nem igaz . Ahogy a paradoxonok többsége sem igaz (Akhilleusz és a teknős, Akhilleusz és a nyílvessző). Ezek mind sántítanak valahol, csak többnyire nem szembetűnő helyen vagy módon. L András^{Itt megtalálsz} 2009. november 19., 17:49 (CET)

Hát ennek tényleg semmi köze a témához, csak összezavarja az olvasót, el is távolítom nyomban. Síkban egyébként nem is igaz a tétel, ha mérhető alakzatot véges sok darabban mérhetőbe viszünk át, az ott csak ugyanakkora területű lehet.Tannin ^vita 2009. december 1., 23:56 (CET)