Mielőtt én, vagy inkább egy igazán profi wikipédiás matematikus hozzáfogna ennek a szócikknek a megírásához, összegyüjtök ide néhány, a szócikknek legalábbis perifériájára eső dokumentumot, melyet kérek itthagyni!

A szócikket, esetleg másikat is, ezeknek a táblázatoknak a felhasználásával kívánom majd elkezdeni, de a formátum a nagy munkával történő táblázatszerkesztést nem teszi lehetővé úgy elmenteni, hogy a Wikipédián kívül is formálgathassam táblázataimat(még nem értek hozzá).

Majd lecserélem az angol nyelvű (általam bizonyára rosszul fordított) saját elnevezéseket (vissza) magyarra, (pl. Pascal-háromszög tükrözése és a megfeleltetett számok (centrális tükrözéssel) szorzata, stb.

START Zlajos 17 jun 2007

1.RÉSZ[szerkesztés]

Ha minden karakterből egy van:0(semmi) A, AB, ABC, ABCD, ABCDE, ......

A008290 Triangle T(n,k) of rencontres numbers (number of *permutations of n elements with k fixed points).[[1]]

Ismétlés nélküli permutációk fixpontjai[szerkesztés]

Nulla fixpont[szerkesztés]

KÉT HÉTKÖZNAPI MEGFOGALMAZÁS:

1.Valaki n darab levelet ír, és n darab borítékra felírja a levelekhez tartozó címeket. Hányféleképpen teheti a leveleket a borítékokba, hogy egyetlenegy se kerüljön a megfelelő címzésűbe? (POLYGON KÖNYVTÁR, Hajnal P.: Elemi kombinatorikai feladatok)
2. Sportmérkőzésen örömében mindenki feldobja a kalapját. Hányféleképpen lehetséges, hogy senki nem a saját kalapját kapja ezután el? Forrás: (Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik:KONKRÉT MATEMATIKA (1998),192-193 oldal) kulcsszavak: szétszóródó permutáció

ELVONTABBAN:

Legyen ABCD karakter összes permutációja. Hány olyan permutáció van, ahol a négy karakter közül egyik sincs a "helyén" :

BADC, BCDA, BDAC,

CADB, CDAB, CDBA,

DABC, DCAB, DCBA,

ez 9 db derangement, "zűrzavar" azaz 9 db fixpont nélküli permutáció!

Az 1. táblázat első oszlopában a karakterek, (sapkák, borítékok...) száma szerepel, nevezetesen, hogy mindegyikből 1 db van. A második oszlop tartalmazza a fixpont nélküli permutációk számát: 4 karakter, 1 1 1 1 db esetén tehát kilenc!

1.táblázat[szerkesztés]

karakterek száma\fixpontok száma:	nulla fixpont,"0"	1	2	3	4	5	6	7
"0"	1
1	0	1
11	1	0	1
111	2	3	0	1
1111	9	8	6	0	1
11111	44	45	20	10	0	1
111111	265	264	135	40	15	0	1
1111111	1854	1855	924	315	70	21	0	1

Rencontres numbers[szerkesztés]

Az 1.táblázat -ról az angol wikin:

In combinatorial mathematics, the rencontres numbers are a triangular array of integers that enumerate permutations of the set { 1, ..., n } with specified numbers of fixed points. (Rencontre is French for encounter. By some accounts, the problem is named after a solitaire game.) For n ≥ 0 and 0 ≤ k ≤ n, the rencontres number D_n, k is the number of permutations of { 1, ..., n } that have exactly k fixed points. See Riordan, pages 57-58 on the "problème des rencontres" and the table on page 65.

Here is the beginning of this array:

{\begin{matrix}1\\0&1\\1&0&1\\2&3&0&1\\9&8&6&0&1\\44&45&20&10&0&1\\265&264&135&40&15&0&1\\1854&1855&924&315&70&21&0&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}

The numbers in the leftmost vertical column enumerate derangements. Thus

D_{0,0}=1,\!

D_{1,0}=0,\!

D_{n+2,0}=(n+1)(D_{n+1,0}+D_{n,0})\!

for non-negative n. It turns out that

D_{n,0}=\left[{n! \over e}\right]

where the ratio is rounded up for even n and and rounded down for odd n. For n ≥ 1, this gives the nearest integer. More generally, we have

D_{n,k}={n \choose k}\cdot D_{n-k,0}.

The proof is easy after one knows how to enumerate derangements: choose the k fixed points out of n; then choose the derangement of the other n − k points.

értékek...[szerkesztés]

A008290 formatted as a triangular array:[2] egyenlő ezzel a táblázattal! http://en.wikipedia.org/wiki/Cycles_and_fixed_points

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	sum
k	j
1	0	1									1
2	1	0	1								2
3	2	3	0	1							6
4	9	8	6	0	1						24
5	44	45	20	10	0	1					120
6	265	264	135	40	15	0	1				720
7	1854	1855	924	315	70	21	0	1			5040
8	14833	14832	7420	2464	630	112	28	0	1		40320
9	133496	133497	66744	22260	5544	1134	168	36	0	1	362880
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	sum

Szubfaktoriális[szerkesztés]

The subfactorial function, written as !n, is used to calculate the number of permutations of a set of n objects in which none of the elements occur in their natural place. These are also known as derangements. (The factorial function itself calculates the total number of permutations of the set.)

In practical terms, subfactorial is the number of ways of putting n letters into n envelopes (one in each envelope) with none in its correct envelope.

It can be calculated using the inclusion-exclusion principle.

!n=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}

Subfactorials can also be calculated in the following ways:

!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}

where $\Gamma$ denotes the incomplete gamma function, and e is the mathematical constant; or

!n=\left[{\frac {n!}{e}}\right]

where [x] denotes the nearest integer function.

!n=!(n-1)\;n+(-1)^{n}

!n=(n-1)\;(!(n-1)+!(n-2))

!n=(n-1)\;a_{n-2}

with

\;a_{0}=a_{1}=1

and

a_{n}=n\;a_{n-1}+(n-1)\;a_{n-2}

(A000255 sorozat az OEIS-ben)

The first few values of the function are:

!1 = 0

!2 = 1

!3 = 2

!4 = 9

!5 = 44

!6 = 265

!7 = 1854

!8 = 14833

!9 = 133496

!10 = 1334961

!11 = 14684570

!12 = 176214841

!13 = 2290792932

!14 = 32071101049

!15 = 481066515734

!16 = 7697064251745

!17 = 130850092279664

!18 = 2355301661033953

!19 = 44750731559645106

!20 = 895014631192902121

!21 = 18795307255050944540

The number 148,349 has the surprising property that it is equal to the sum of the subfactorials of its digits:

148,349=!1+!4+!8+!3+!4+!9

Subfactorial is sometimes permitted in the Four fours mathematical game where !4 being 9 is helpful.

Valószínűségi (gyakorisági) eloszlás[szerkesztés]

The sum of the entries in each row is the whole number of permutations of { 1, ..., n }, and is therefore n!. If one divides all the entries in the nth row by n!, one gets the probability distribution of the number of fixed points of a uniformly distributed random permutation of { 1, ..., n }. The probability that the number of fixed points is k is

{D_{n,k} \over n!}.

For i ≤ n, the ith moment of this probability distribution is the i th Bell szám, i.e., the number of partitions of a set of size i. This is the same as the ith moment of a Poisson eloszlás with expected value 1. For i > n, the ith moment is smaller than that of that Poisson distribution.

Limiting probability distribution[szerkesztés]

Határ valószínűségi eloszlás[szerkesztés]

As the size of the permuted set grows, we get

\lim _{n\to \infty }{D_{n,k} \over n!}={e^{-1} \over k!}.

This is just the probability that a Poisson-distributed random variable with expected value 1 is equal to k. In other words, as n grows, the probability distribution of the number of fixed points of a random permutation of a set of size n approaches the Poisson distribution with expected value 1.

Irodalom[szerkesztés]

Riordan, John, An Introduction to Combinatorial Analysis, New York, Wiley, 1958

Külső hivatkozás[szerkesztés]

Rencontres numbers at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Ismétléses permutáció fixpontjai[szerkesztés]

Ha minden karakterből kettő van: AABBCCDD.....

A059056 Penrice Christmas gift numbers, Card-matching numbers (Dinner-Diner matching numbers). [[3]]

COMMENT: Analogous to A008290. - Zerinvary Lajos (zerinvarylajos(AT)yahoo.com), Jun 10 2005

1, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 0, 1, 10, 24, 27, 16, 12, 0, 1, 297, 672, 736, 480, 246, 64, 24, 0, 1, 13756, 30480, 32365, 21760, 10300, 3568, 970, 160, 40, 0, 1, 925705, 2016480, 2116836, 1418720, 677655, 243360, 67920, 14688, 2655, 320, 60, 0, 1

2.táblázat[szerkesztés]

fixpont\ karakterek száma:	free vagy "0" fixpont	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
"0"	1
2	0	0	1
22	1	0	4	0	1
222	10	24	27	16	12	0	1
2222	297	672	736	480	246	64	24	0	1
22222	13756	30480	32365	21760	10300	3568	970	160	40	0	1
222222	925705	2016480	2116836	1418720	677655	243360	67920	14688	2655	320	60	0	1
2222222	85394646	183749160	191384599	128058000	61585776	22558928	6506955	1507392	284550	43848	5901	560	84

2.táblázat magyarázata[szerkesztés]

Az eredeti vagy klasszikus táblázat : (1.táblázat)

"0" (táblázatban jele: "0")akkor 1 db 0 fixpont,
"A" (táblázatban jele: 1)akkor 0 db 0 fixpont,
"AB" (táblázatban jele: 11)akkor 1 db 0 fixpont,
"ABC" (táblázatban jele: 111)akkor 2 db 0 fixpont,,
"ABCD" (táblázatban jele: 1111) akkor 9 db 0 fixpont,, stb.

oszlop > nulla fixpont, "0" :

1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961...

00166 Subfactorial or rencontres numbers, or derangements: number of permutations of n elements with no fixed points.

akkor:

hasonlóan : (2.táblázat)

"0" (table jele: "0") akkor 1 db 0 fixpont,
AA (table jele: 2) akkor 0 db 0 fixpont,
AABB (table jele: 22)akkor 1 db 0 fixpont,
AABBCC (table jele: 222)akkor 10 db 0 fixpont,
AABBCCDD (table jele: 2222)akkor 297 db 0 fixpont, stb.

oszlop > free vagy "0" fixpont :
1, 0, 1, 10, 297, 13756, 925705, 85394646,...
A059072 Penrice Christmas gift numbers; card-matching numbers; dinner-diner matching numbers.

[[4]]

A059072

FORMULA: MAPLE p := (x, k)->k!^2*sum(x^j/((k-j)!^2*j!), j=0..k); R := (x, n, k)->p(x, k)^n; f := (t, n, k)->sum(coeff(R(x, n, k), x, j)*(t-1)^j*(n*k-j)!, j=0..n*k);seq(f(0, n, 2)/2!^n, n=0..18); (AUTHOR Barbara Haas Margolius (margolius(AT)math.csuohio.edu) )

A059072
COMMENT Number of fixed-point-free permutations of n distinct letters (ABCD...), each of which appears twice. If there is only one letter of each type we get A000166. - Zerinvary Lajos (zerinvarylajos(AT)yahoo.com), Oct 15 2006

3.táblázat[szerkesztés]

Ismétléses permutáció fixpontjai Ha minden karakterből három van: AAABBBCCCDDD.....

fixed point: character numbers:	free or "0"	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
"0"	1
3	0	0	0	1
33	1	0	9	0	9	0	1
333	56	216	378	435	324	189	54	27	0	1
3333	13833	49464	84510	90944	69039	38448	16476	5184	1431	216	54	0	1
33333	6699824	23123880	38358540	40563765	30573900	17399178	7723640	2729295	776520	180100	33372	5355	540
333333	5691917785	19180338840	31234760055	32659846104	24571261710	14125889160	6433608330	2375679240	722303568	182701480	38712600	6889320	1035330
3333333	7785547001784	25791442770240	etc

If original or classic table: (1.table)

"0" (table sign: "0")then 1 derangements,
"A" (table sign: 1)then 0 derangements,
"AB" (table sign: 11)then 1 derangements,
"ABC" (table sign: 111)then 2 derangements,
"ABCD" (table sign: 1111)then 9 derangements, etc.
- column > free or 0 :
- 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961...
00166 Subfactorial or rencontres numbers, or derangements: number of permutations of n elements with no fixed points.[[00166 Subfactorial or rencontres numbers, or derangements: number of permutations of n elements with no fixed points.]]

then:

analogous (3.table)
"0" (table sign: "0")then 1 derangements,
AAA (table sign: 3)then 0 derangements,
AAABBB (table sign: 33)then 1 derangements,
AAABBBCCC (table sign: 333)then 56 derangements,
AAABBBCCCDDD (table sign: 3333)then 13833 derangements, etc.
column > free or 0 :
- 1, 0, 1, 56, 13833, 6699824, 5691917785, 7785547001784,
A059073 Card-matching numbers (Dinner-Diner matching numbers).

FORMULA: MAPLE p := (x, k)->k!^2*sum(x^j/((k-j)!^2*j!), j=0..k); R := (x, n, k)->p(x, k)^n; f := (t, n, k)->sum(coeff(R(x, n, k), x, j)*(t-1)^j*(n*k-j)!, j=0..n*k); seq(f(0, n, 3)/3!^n, n=0..18); (AUTHOR Barbara Haas Margolius (margolius(AT)math.csuohio.edu) [[5]]

Number of fixed-point-free permutations of n distinct letters (ABCD...), each of which appears thrice. If there is only one letter of each type we get A000166. - Zerinvary Lajos (zerinvarylajos(AT)yahoo.com), Oct 15 2006

2.column (free or "0" -fixed point

" " :1

111 :2

222 :10

333 :56

444 :346

555 :2252

etc... A000172 Franel number a(n) = Sum C(n,k)^3, k=0..n. [[6]]

3.column ( "1" -fixed point)

111 :3

222 :24

333 :216

444 :1824

555 :15150

etc... A000279 Card matching. [[7]] COMMENT

Number of permutations of 3 distinct letters (ABC) each with n copies such that one (1) fixed points. E.g. if AAAAABBBBBCCCCC n=3*5 letters permutations then one fixed points n5=15150 - Zerinvary Lajos (zerinvarylajos(AT)yahoo.com), Feb 02 2006

4.column ( "2" fixed point)

111 :0

222 :27

333 :378

444 :4536

555 :48600

etc... A000535 Card matching. [[8]]

5.column ( "3" fixed point)

111 :1

222 :16

333 :435

444 :7136

555 :99350

etc... A000489 Card matching. [[9]]

3.table
- column: 2,3,4,5,...
- where is it :formula or generating function(?)
- where is it :bibliography?

continued:

charcters:quadruple, example:AAAA, AAAABBBB, AAAABBBBCCCC, AAAABBBBCCCCDDDD, etc...
table 1.column :4, 44, 444, 4444, 44444, etc...
charcters:quintuple, example:AAAAA, AAAAABBBBB, AAAAABBBBBCCCCC, etc...
table 1.column :5, 55, 555, 5555, 55555, etc...
a great number of connexion of interesting !!

Zlajos 19. jun. 2007.

copy:[[10]]

Zlajos 21. jun. 2007. Extension: If all character twice : example: AABBCC, which has 2 A, 2 B's, and 2 C's, is

{6 \choose 2,2,2}={\frac {6!}{2!\,2!\,2!}}=90

Compare the all distinct anagram for AABBCC to CCBBAA (90) one after the other :template (or schema)

AAAAAA or 6 0 0 equal, (identical): BBBBBB and CCCCCC

AAAAAB or 5 1 0 equal, (identical): BBBBBC and CCCCCA etc.

AAAABB or 4 2 0 equal, (identical): AAAACC and BBBBAA etc.

AAAABC or 4 1 1 equal, (identical): CCCCAB and BBBBAC etc.

AAABBB or 3 3 0 equal, (identical): AAACCC and BBBCCC etc.

AABBCC or 2 2 2

AAABBC or 3 2 1 equal, (identical): BBBCCA and CCCAAB etc.

4.table[szerkesztés]

fixed point: character numbers:	free or "0"	1	2	3	4	5	6	sum
6 0 0 or AAAAAA	0	0	90	0	0	0	0	90
5 1 0 or AAAAAB	0	30	30	30	0	0	0	90
4 2 0 or AAAABB	6	24	30	24	6	0	0	90
4 1 1 or AAAABC	6	24	36	12	12	0	0	90
3 3 0 or AAABBB	9	18	36	18	9	0	0	90
2 2 2 or AABBCC	10	24	27	16	12	0	1	90
3 2 1 or AAABBC	12	27	33	15	3	0	0	90

Extension: If all character thrice : example: AAABBBCCC, which has 3 A, 3 B's, and 3 C's, is

{9 \choose 3,3,3}={\frac {9!}{3!\,3!\,3!}}=1680

Compare the all distinct anagram for AAABBBCCC to CCCBBBAAA (1680) one after the other :template (or schema)

AAAAAAAAA or 9 0 0 equal, (identical): BBBBBBBBB and CCCCCCCCC

AAAAAAAAB or 8 1 0 equal, (identical): BBBBBBBBC and CCCCCCCCA etc.

AAAAAAABB or 7 2 0 equal, (identical): AAAAAAACC and BBBBBBBAA etc.

AAAAAAABC or 7 1 1 equal, (identical): CCCCCCCAB and BBBBBBBAC etc.

AAAAAABBB or 6 3 0 equal, (identical): AAAAAACCC and BBBBBBCCC etc.

AAAAAABBC or 6 2 1 equal, (identical): AAAAAACCB and BBBBBBCCA etc. .................... AAABBBCCC or 3 3 3 etc...

5.table[szerkesztés]

fixed point: character numbers:	free or "0"	1	2	3	4	5	6	7	8	9	sum
9 0 0 or AAAAAAAAA	0	0	0	1680	0	0	0	0	0	0	1680
8 1 0 or AAAAAAAAB	0	0	560	560	560	0	0	0	0	0	1680
7 2 0 or AAAAAAABB	0	140	420	560	420	140	0	0	0	0	1680
7 1 1 or AAAAAAABC	0	140	420	630	280	210	0	0	0	0	1680
6 3 0 or AAAAAABBB	20	180	360	560	360	180	20	0	0	0	1680
6 2 1 or AAAAAABBC	20	180	420	480	380	140	60	0	0	0	1680
5 4 0 or AAAAABBBB	40	160	400	480	400	160	40	0	0	0	1680
5 3 1 or AAAAABBBC	40	190	400	460	360	160	60	10	0	0	1680
5 2 2 or AAAAABBCC	40	200	400	460	320	200	40	20	0	0	1680
4 4 1 or AAAABBBBC	48	192	384	480	320	192	48	16	0	0	1680
4 3 2 or AAAABBBCC	52	208	388	436	340	168	72	12	4	0	1680
3 3 3 or AAABBBCCC	56	216	378	435	324	189	54	27	0	1	1680

...4. table, 5.table sum: 90, 1680, etc.:A006480 De Bruijn's s(3,n): (3n)!/(n!)^3. [[11]]

continued! Zlajos 28. jun. 2007.

Compare the all distinct anagram for AAAAAABBBBBBB to BBBBBBAAAAAA (924) one after the other :template (or schema)

one after the other :template (or schema)

AAAAAAAAAAAA or 12 0

AAAAAAAAAAAB or 11 1

AAAAAAAAAABB or 10 2

....................

BBBBBBBBBBAA or 2 10

....................

BBBBBBBBBBBB or 0 12

analogous or similar: A129352 [[12]]

MAPLE:with(combinat):T:=(n,i)->binomial(i,n)*binomial(12-i,6-n): for n from 0 to 6 do seq(T(n, i), i=0+n..12-6+n) od; #Warning, new definition for Chi

924, 462, 210, 84, 28, 7, 1

462, 504, 378, 224, 105, 36, 7

210, 378, 420, 350, 225, 105, 28

84, 224, 350, 400, 350, 224, 84

28, 105, 225, 350, 420, 378, 210

7, 36, 105, 224, 378, 504, 462

1, 7, 28, 84, 210, 462, 924

If this is table rotated right by Pi/4. then equal 6.table

6.table[szerkesztés]

fixed point: character numbers:	"0"	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	sum
12 0 or AAAAAAAAAAAA							924							924
11 1 or AAAAAAAAAAAB						462		462						924
10 2 or AAAAAAAAAABB					210		504		210					924
9 3 or AAAAAAAAABBB				84		378		378		84				924
8 4 or AAAAAAAABBBB			28		224		420		224		28			924
7 5 or AAAAAAABBBBB		7		105		350		350		105		7		924
6 6 or AAAAAABBBBBB	1		36		225		400		225		36		1	924
5 7 or AAAAABBBBBBB		7		105		350		350		105		7		924
4 8 or AAAABBBBBBBB			28		224		420		224		28			924
3 9 or AAABBBBBBBBB				84		378		378		84				924
2 10 or AABBBBBBBBBB					210		504		210					924
1 11 or ABBBBBBBBBBB						462		462						924
0 12 or BBBBBBBBBBBB							924							924

Táblázat binomiális együtthatókkal[szerkesztés]

fixed point: character numbers:	"0"	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	sum
12 0 or AAAAAAAAAAAA							C(0,0)*C(12,6)							924
11 1 or AAAAAAAAAAAB						C(1,0)*C(11,6)		C(1,1)*C(11,5)						924
10 2 or AAAAAAAAAABB					C(2,0)*C(10,6)		C(2,1)*C(10,5		C(2,2)*C(10,4)					924
9 3 or AAAAAAAAABBB				C(3,0)*C(9,6)		C(3,1)*C(9,5)		C(3,2)*C(9,4)		C(3,3)*C(9,3)				924
8 4 or AAAAAAAABBBB			C(4,0)*C(8,6)		C(4,1)*C(8,5)		C(4,2)*C(8,4)		C(4,3)*C(8,3)		C(4,4)*C(8,2)			924
7 5 or AAAAAAABBBBB		C(5,0)*C(7,6)		C(5,1)*C(7,5)		C(5,2)*C(7,4)		C(5,3)*C(7,3)		C(5,4)*C(7,2)		C(5,5)*C(7,1)		924
6 6 or AAAAAABBBBBB	C(6,0)*C(6,6)		C(6,1)*C(6,5)		C(6,2)*C(6,4)		C(6,3)*C(6,3)		C(6,4)*C(6,2)		C(6,5)*C(6,1)		C(6,6)*C(6,0)	924
5 7 or AAAAABBBBBBB		C(7,1)*C(5,5)		C(7,2)*C(5,4)		C(7,3)*C(5,3)		C(7,4)*C(5,2)		C(7,5)*C(5,1)		C(7,6)*C(5,0)		924
4 8 or AAAABBBBBBBB			C(8,2)*C(4,4)		C(8,3)*C(4,3)		C(8,4)*C(4,2)		C(8,5)*C(4,1)		C(8,6)*C(4,0)			924
3 9 or AAABBBBBBBBB				C(9,3)*C(3,3)		C(9,4)*C(3,2)		C(9,5)*C(3,1)		C(9,6)*C(3,0)				924
2 10 or AABBBBBBBBBB					C(10,4)*C(2,2)		C(10,5)*C(2,1)		C(10,6)*C(2,0)					924
1 11 or ABBBBBBBBBBB						C(11,5)*C(1,1)		C(11,6)*C(1,0)						924
0 12 or BBBBBBBBBBBB							C(12,6)*C(0,0)							924

8.table[szerkesztés]

Pascal-háromszög része

fixpont: karakterek száma:	"0"	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
............................							C(0,0)*
						C(1,0)*		C(1,1)*
					C(2,0)*		C(2,1)*		C(2,2)*
				C(3,0)*		C(3,1)*		C(3,2)*		C(3,3)*
			C(4,0)*		C(4,1)*		C(4,2)*		C(4,3)*		C(4,4)*
		C(5,0)*		C(5,1)*		C(5,2)*		C(5,3)*		C(5,4)*		C(5,5)*
	C(6,0)*		C(6,1)*		C(6,2)*		C(6,3)* center		C(6,4)*		C(6,5)*		C(6,6)*	..................

Pascal-háromszög tükrözése (minta)[szerkesztés]

9.table[szerkesztés]

.............................	*C(6,6)		*C(6,5)		*C(6,4)		*C(6,3) center		*C(6,2)		*C(6,1)		*C(6,0)	.................
.		*C(5,5)		*C(5,4)		*C(5,3)		*C(5,2)		*C(5,1)		*C(5,0)
.			*C(4,4)		*C(4,3)		*C(4,2)		*C(4,1)		*C(4,0)
.				*C(3,3)		*C(3,2)		*C(3,1)		'C(3,0)'*
.					*C(2,2)		*C(2,1)		*C(2,0)
.						*C(1,1)		*C(1,0)
.							*C(0,0)

10.table[szerkesztés]

AAAAAABB katakterek permutációja AAAAAABB -tól BBAAAAAA -ig C(8,2) vagy C(8,6)= 28

(ez a "28" a Pascal-háromszög tükrözésének sorát jelöli ki.)

Hasonlítsuk össze ezeket sorra

AAAAAAAA 8 0

AAAAAAAB 7 1

AAAAAABB 6 2

AAAAABBB 5 3

...............

ABBBBBBB 1 7

BBBBBBBB 0 8

mintákkal, és határozzuk meg a fixpontok számát!

Magyarázat nélkül:az elő sor esetén nyilvánvaló hogy 28 darab 6 fixpontos, az utolsó sor esetén 28 darab 2 fixpontos lesz.

Ime részletesen a táblázatban:

fixed point: character numbers:	"0"	1	2	3	4	5	6	7	8	sum
8 0 or AAAAAAAA							28			28
7 1 or AAAAAAAB						21		7		28
6 2 or AAAAAABB					15		12		1	28
5 3 or AAAAABBB				10		15		3		28
4 4 or AAAABBBB			6		16		6			28
3 5 or AAABBBBB		3		15		10				28
2 6 or AABBBBBB	1		12		15					28
1 7 or ABBBBBBB		7		21						28
0 8 or BBBBBBBB			28							28

Ellenőrzés: a ferde sorok összege:

balról jobbra felfelé, (vagy átló):84 , azaz C(9,2) vagy C(9,7)

jobbról balra felfelé: (vagy átló):36 , azaz C(9,3) vagy C(9,6)

vízszintesen :28 , azaz C(8,2) vagy C(8,6)

A parallelogramma egyik oldala: A000217 Triangular numbers [[13]]

A háromszögszámok (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,...)első számjegyei. C(n,2)

A másik oldala:

A000579 Figurate numbers or binomial coefficients C(n,6).[[14]]

eleje.

11.table[szerkesztés]

Pascal háromszög

0	1	2	3	4	5	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	sum
								1*									1
....							1*		1*								2
						1*		2*		1*							4
					1*		3*		3*		1						8
				1*		4*		6*		4		1					16
			1*		5*		10*		10		5		1				32
		1*		6*		15*		20		15		6		1			64
	1		7*		21*		35		35		21		7		1		128
1		8		28*		56		70		56		28		8		1	256

12.table[szerkesztés]

Pascal háromszög tükörképe

0	1	2	3	4	5	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	sum
1		8		28		56		70		56		28*		8		1	256
	1		7		21		35		35		21*		7*		1		128
		11		6		15		20		15*		6*		1*			64
			1		5		10		10*		5*		1*				32
				1		4		6*		4*		1*					16
					1		3*		3*		1*						8
						1*		2*		1*							4
							1*		1*								2
								1*									1

13.table[szerkesztés]

Pascal háromszög és tükörképe: szorzás a szorzás centruma: a 11. oszlopban: (4*4)

0	1	2	3	4	5	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	sum
1		8		28		56		70		56		28*1		8		1	256
	1		7		21		35		35		21*1		7*1		1		128
		11		6		15		20		15*1		6*2		1*1			64
			1		5		10		10*1		5*3		1*3				32
				1		4		6*1		4*4		1*6					16
					1		3*1		3*5		1*10						8
						1*1		2*6		1*15							4
							1*7		1*21								2
								1*28									1

2. PART[szerkesztés]

Maple list:

for n from 0 to 0 do seq(binomial(i,n)*binomial(2-i,0-n), i=0+n..2-0+n ); od;#

for n from 0 to 1 do seq(binomial(i,n)*binomial(2-i,1-n), i=0+n..1-0+n ); od;#

for n from 0 to 2 do seq(binomial(i,n)*binomial(4-i,2-n), i=0+n..4-2+n ); od;#

for n from 0 to 3 do seq(binomial(i,n)*binomial(6-i,3-n), i=0+n..6-3+n ); od;

for n from 0 to 4 do seq(binomial(i,n)*binomial(8-i,4-n), i=0+n..8-4+n ); od;

for n from 0 to 5 do seq(binomial(i,n)*binomial(10-i,5-n), i=0+n..10-5+n );od

for n from 0 to 6 do seq(binomial(i,n)*binomial(12-i,6-n), i=0+n..12-6+n ); od;#

for n from 0 to 7 do seq(binomial(i,n)*binomial(14-i,7-n), i=0+n..14-7+n ); od;#

for n from 0 to 8 do seq(binomial(i,n)*binomial(16-i,8-n), i=0+n..16-8+n ); od;#

for n from 0 to 9 do seq(binomial(i,n)*binomial(18-i,9-n), i=0+n..18-9+n ); od;#

for n from 0 to 10 do seq(binomial(i,n)*binomial(20-i,10-n), i=0+n..20-10+n ); od;#

To simplify table (simple table): for 1 to 8[szerkesztés]

0.

1, 1, 1

1.

2, 1

1, 2

2.

6, 3, 1

3, 4, 3

1, 3, 6

3.

20, 10, 4, 1

10, 12, 9, 4

4, 9, 12, 10

1, 4, 10, 20

4.

70, 35, 15, 5, 1

35, 40, 30, 16, 5

15, 30, 36, 30, 15

5, 16, 30, 40, 35

1, 5, 15, 35, 70

5.

252, 126, 56, 21, 6, 1

126, 140, 105, 60, 25, 6

56, 105, 120, 100, 60, 21

21, 60, 100, 120, 105, 56

6, 25, 60, 105, 140, 126

1, 6, 21, 56, 126, 252

6.

924, 462, 210, 84, 28, 7, 1

462, 504, 378, 224, 105, 36, 7

210, 378, 420, 350, 225, 105, 28

84, 224, 350, 400, 350, 224, 84

28, 105, 225, 350, 420, 378, 210

7, 36, 105, 224, 378, 504, 462

1, 7, 28, 84, 210, 462, 924

7.

3432, 1716, 792, 330, 120, 36, 8, 1

1716, 1848, 1386, 840, 420, 168, 49, 8

792, 1386, 1512, 1260, 840, 441, 168, 36

330, 840, 1260, 1400, 1225, 840, 420, 120

120, 420, 840, 1225, 1400, 1260, 840, 330

36, 168, 441, 840, 1260, 1512, 1386, 792

8, 49, 168, 420, 840, 1386, 1848, 1716

1, 8, 36, 120, 330, 792, 1716, 3432

8.

12870, 6435, 3003, 1287, 495, 165, 45, 9, 1

6435, 6864, 5148, 3168, 1650, 720, 252, 64, 9

3003, 5148, 5544, 4620, 3150, 1764, 784, 252, 45

1287, 3168, 4620, 5040, 4410, 3136, 1764, 720, 165

495, 1650, 3150, 4410, 4900, 4410, 3150, 1650, 495

165, 720, 1764, 3136, 4410, 5040, 4620, 3168, 1287

45, 252, 784, 1764, 3150, 4620, 5544, 5148, 3003

9, 64, 252, 720, 1650, 3168, 5148, 6864, 6435

1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435, 12870

etc...

3. PART[szerkesztés]

all 1.rows 1. numbers (and mirror)

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, etc...

Central binomial coefficients: C(2n,n) = (2n)!/(n!)^2.

A000984[[15]]

all 1.rows 2. numbers (and mirror)

1, 3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, 24310, 92378, 352716, etc...

C(2n+1, n+1)

A001700 [[16]]

all 1.rows 3. numbers (and mirror)

1, 4, 15, 56, 210, 792, 3003, 11440, 43758, 167960, etc...

Binomial coefficients C(2n,n-1).

A001791 [[17]]

all 1.rows 4. numbers (and mirror)

1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, etc...

Binomial coefficient binomial(2n+1,n-1).

A002054 [[18]]

all 1.rows 5. numbers (and mirror)

1, 7, 36, 165, 715, 3003, 12376, 50388, 203490, 817190, etc...

Binomial coefficients C(2n+1,n-2).

A003516 [[19]]

all 1.rows 6. numbers (and mirror)

1, 7, 36, 165, 715, 3003, 12376, 50388, 203490, etc...

Binomial coefficients C(2n+1,n-2).

A003516[[20]]

all 1.rows 7. numbers (and mirror)

1, 8, 45, 220, 1001, 4368, 18564, 77520, 319770, etc...

Binomial coefficients C(2n,n-3).

A002696 [[21]]

all 2.rows 1. numbers (and mirror)equal all 1.rows 2. numbers

all 2.rows 2. numbers (and mirror)

2, 4, 12, 40, 140, 504, 1848, 6864, 25740, 97240, etc...

Twice central binomial coefficients

A028329[[22]]

all 2.rows 3. numbers (and mirror)

3, 9, 30, 105, 378, 1386, 5148, 19305, 72930, 277134, 1058148,etc...

3*C(2*n-1,n).

A003409 [[23]]

all 3.rows 3. numbers (and mirror)

6, 12, 36, 120, 420, 1512, 5544 etc...

A067804 formatted as a square array:3.rows [[24]]

all 4.rows 4. numbers (and mirror)

20, 40, 120, 400, 1400, 5040, etc...

A067804 formatted as a square array:4.rows [[25]]

all 5.rows 5. numbers (and mirror)

70, 140, 420, 1400, 4900,etc...

A067804 formatted as a square array:5.rows [[26]]

etc...

A067804 formatted as a square array:

1 2 6 20 70 252 924 3432 12870

2 4 12 40 140 504 1848 6864

6 12 36 120 420 1512 5544

20 40 120 400 1400 5040

70 140 420 1400 4900

252 504 1512 5040

924 1848 5544

3432 6864

12870

...................................................

all diagonal left to right and bottom to top

Square the entries of Pascal's triangle.

A008459 [[27]]

all 2.table "center" 1, 4, 36, 400, 4900, 63504, 853776, etc...

Binomial(2n,n)^2.

A002894 [[28]]

Zlajos 2007. július 10., 17:29 (CEST)

A táblázat soraiban levő számok értelmezése[szerkesztés]

Kiindulás: Amennyiben "A" és "B" karakter összes permutációját, vagy "A" , "B" és "C" karakter, vagy "A" , "B", "C" és "D" karakter és így tovább permutációit készítjük el, azaz végtelen sok féle, de bármelyikből csk egy darab lehez, akkor a Subfactorial [29] és Derangement [30] illetve Rencontres numbers [31] fogalmak adnak eligazítást. Példák a permutációkra:

1.[szerkesztés]

AB, BA

2.[szerkesztés]

ABC, CAB

ACB, BCA

BAC, CBA

3.[szerkesztés]

BADC, BCDA, BDAC,

CADB, CDAB, CDBA,

DABC, DCAB, DCBA,

1/2[szerkesztés]

Az 1. permutációira analóg módon két karakter, mindegyikből kettő : (most számokkal bemutatva)minta: "1122"

2-2

2112, 1212

2121, 1221

2211, "1122"

Pirossal kiemelve:

0 fixpontos :2211 1 db

2 fixpontos : 2112, 1212, 2121, 1221 4 db

4 fixpontos :"1122" 1 db

Tehát : 1 4 1 (A Pascal háromszög) harmadik sorában lévő számok "'1' '2' '1' " négyzete, valójában itt most így értendő :

1= C(2,0)* C(2,2), 4= C(2,1)* C(2,1), 1=C(2,2)* C(2,0)

"Számszakilag" ugyanaz, de a szorzás mindíg a tükörképpel történik, mivel centrális tükrözés van, ez a kivétel: 4= C(2,1)* C(2,1)

1/3[szerkesztés]

Az 1. permutációival analóg módon két karakter, mindegyikből három : (most számokkal bemutatva) minta: "111222" A generáló program miatt: fixpont egyenlő találat

0 találat: 1 db

1 találat: 0 db

2 találat: 9 db

3 találat: 0 db

4 találat: 9 db

5 találat: 0 db

6 találat: 1 db A permutációk

221112,

221121,

221211,

222111,

212112,

212121,

212211,

211212,

211221,

211122,

122112,

122121,

122211,

111222

0 fixpontos : 1 db 222111

2 fixpontos : 9 db 221121, 221112, 221211, 212112, 212211, 212121,122112, 122121, 122211

4 fixpontos : 9 db '211212', '211221','211122', '121212', '121221', '121122', '112212',, '112221', '112122'

6 fixpontos : 1 db 111222

"1 9 0 9 0 1" számok (a 0 itt nem számot jelöl, hanem a "nincs"-et, tehát semmi ) a Pascal háromszög "1 3 3 1 " sorának négyzete, azaz az alábbi szorzatokkal írható le:

1=C(3,0)*C(3,3),

9=C(3,1)*C(3,2),

9=C(3,2)*C(3,1),

1=C(3)3*C(3,0),

1/4[szerkesztés]

z 1. permutációival analóg módon két karakter, mindegyikből négy : (most számokkal bemutatva) minta: "11112222" A fixpontot korábban bemutatva, itt már a permutációk és a találatok, majd a képlet magyarázata következik:

22211112 22211121 22211211 22212111

22221111 0 fixpont

22121112 22121121 22121211 22122111 22112112 22112121 22112211 22111212 22111221 22111122 21221112 21221121 21221211 21222111 21212112 21212121 21212211 21211212 21211221 21211122 21122112 21122121 21122211 21121212 21121221 21121122 21112212 21112221 21112122 21111222 12221112 12221121 12221211 12222111 12212112 12212121 12212211 12211212 12211221 12211122 12122112 12122121 12122211 12121212 12121221 12121122 12112212 12112221 12112122 12111222 11222112 11222121 11222211 11221212 11221221 11221122 11212212 11212221 11212122 11211222 11122212 11122221 11122122 11121222

11112222 8 fixpont

0 találat: 1 db

1 találat: 0 db (nincs!!!)

2 találat: 16 db

3 találat: 0 db (nincs!!!)

4 találat: 36 db

5 találat: 0 db (nincs!!!)

6 találat: 16 db

7 találat: 0 db (nincs!!!)

8 találat: 1 db

Ezek a találatok (fixpontok darabszáma) is a Pascal háromszög alábbi sorának négyzetét

1 4 6 4 1 azaz a következő szorzatot írják le:

1=C(4,0)*C(4,4)

16=C(4,1)*C(4,3)

36=C(4,2)*C(4,2)

16=C(4,3)*C(4,1)

1=C(4,4)*C(4,0)

2/a/3[szerkesztés]

A 2. permutációira analóg módon három féle karakter (1,2,3), mindegyikből kettő darab:

(most számokkal bemutatva, de nincs rendezve!)

Jelölve (kövér) néhány 0 fixpontos permutációt (a tízből), ha a minta "112233"

321312, 321321, 321132, 321231, 321123, 321213, 323112, 323121, 322131, 322113, 323211, 322311, 312312, 312321, 312132, 312231, 312123, 312213, 332112, 332121, 332211, 313212, 313221, 311232, 311223, 331212, 331221, 313122, 311322, 331122, 231312, 231321, 231132, 231231, 231123, 231213, 233112, 233121, 232131 ,232113, 233211, 232311, 132312, 132321 132132, 132231, 132123, 132213, 133212, 133221, 131232, 131223, 133122 131322, 213312, 213321, 213132, 213231, 213123, 213213, 223131, 223113, 223311, 123312, 123321, 123132, 123231, 123123, 123213, 113232, 113223, 113322, 211332, 212331, 211323, 212313, 221331, 221313, 121332, 122331, 121323, 122313, 112332, 112323, 211233, 212133, 221133, 121233, 122133, "112233"

Az egyetlen, most 6 fixpontos az utolsó: "112233"

A többi fixpont száma (találat):

Találatok:

0 találat: 10 db

1 találat: 24 db

2 találat: 27 db

3 találat: 16 db

4 találat: 12 db

5 találat: 0 db

6 találat: 1 db

TÁBLÁZAT[szerkesztés]

A legfelső sor a találatok számát, mint fejléc mutatja.

A második sor az előző pontban bemutatott találati (fixpont) mennyiségeket mutatja!

222 222 ....0.....1.....2.....3.....4.....5......6.

222 222 ..10....24....27.....6.....12....0.....1

222 600 ...0.....0.....90.....0.......0....0.....0

222 510 ...0....30....30....30......0....0.....0

222 420 ...6....24....30....24......6....0.....0

222 411 ...6....24....36....12.....12....0.....0

222 330 ...9....18....36....18......9.....0....0

222 321 ...9....24....27....21......6.....3....0

1/6[szerkesztés]

Hat darab "A" és hat darab "B" objektum (AAAAAABBBBBB), (karakter) összes permutációját vessük össze a kiindulási Hat darab "A" és hat darab "B" objektum (AAAAAABBBBBB)kiindulási mintájával és vizsgáljuk meg, hogy mennyi fixpontot kapunk!

Sorra nulla, egy, kettő, ... öt, tíz, tizenegy, és tizenkettő fixpont lehet. Ezeknek a darabszámát adja meg a táblázat:

6 6 vagy AAAAAABBBBBB sor :1 36 225 400 225 36 1 a fixpontok száma, ez összesen 924

Ha az összes permutációt összevetjük hasonlóképpen 12 db "A" karakterrel(AAAAAAAAAAAA), vagy 12 db "B" karakterrel (BBBBBBBBBBBB),akkor csak hat fixpont lehet a legfelső és legalsó táblázatsor szerint: 924 darab.

Értelemszerűen a táblázat további sorai is a fixpontok számát írják le.

"Fixpont" alatt az összehasonlítás során az azonos helyen megegyező karakter értendő!

lásd:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rencontres_numbers

http://en.wikipedia.org/wiki/Cycles_and_fixed_points

http://en.wikipedia.org/wiki/Subfactorial Zlajos 2007. november 22., 15:23 (CEST) folytatom!!!

Meglett a magyar Variáció

Permutations with repetitions[szerkesztés]

When the order matters, and an object can be chosen more than once, the number of permutations is

n^{r}\,\!

where n is the number of objects from which you can choose and r is the number to be chosen.

For example, if you have the letters A, B, C, and D and you wish to discover the number of ways to arrange them in three letter patterns (trigrams)

order matters (e.g., A-B is different from B-A, both are included as possibilities)
an object can be chosen more than once (A-A possible)

you find that there are 4³ or 64 ways. This is because for the first slot you can choose any of the four values, for the second slot you can choose any of the four, and for the final slot you can choose any of the four letters. Multiplying them together gives the total.

Egy példa (OEIS-ből) az ismétléses variáció (angol:of n-permutations of 8 objects:r,s,t,u,v,z,x,y with repetition) "fixpontjait" (angol:containing exactly five (5) u's.)leíró képletre és elrendezésre:

A140404 Binomial(n+5,5)*7^n.

1, 42, 1029, 19208, 302526, 4235364, 54353838, 652246056, 7419298887, 80787921214, 848273172747, 8636963213424, 85649885199788, 830145041167176, 7886377891088172, 73606193650156272, 676256904160810749 (list; graph; listen)

OFFSET

0,2

COMMENT

With a different offset, number of n-permutations of 8 objects:r,s,t,u,v,z,x,y with repetition allowed, containing exactly five (5) u's. Example: a(1)=42 because we have

uuuuur, uuuuru, uuuruu, uuruuu, uruuuu, ruuuuu

uuuuus, uuuusu, uuusuu, uusuuu, usuuuu, suuuuu,

uuuuut, uuuutu, uuutuu, uutuuu, utuuuu, tuuuuu,

uuuuuv, uuuuvu, uuuvuu, uuvuuu, uvuuuu, vuuuuu,

uuuuuz, uuuuzu, uuuzuu, uuzuuu, uzuuuu, zuuuuu,

uuuuux, uuuuxu, uuuxuu, uuxuuu, uxuuuu, xuuuuu,

uuuuuy, uuuuyu, uuuyuu, uuyuuu, uyuuuu, yuuuuu.

MAPLE

seq(binomial(n+5, 5)*7^n, n=0..17);

AUTHOR

Zerinvary Lajos (zerinvarylajos(AT)yahoo.com), Jun 16 2008

tehát: ha öt pozíción kell öt u-t elhelyezni, az csak egyféleképpen lehetséges:uuuuu

A sorozat első tagja 1

A sorozat második tagja a fenti példából:(hat pozició) 42

A sorozat harmadik tagja 1029 (hét pozició) egy példa: uuuuuxx, és még 1028 eset...