Szerkesztő:FoBe/Artin L-függvény

Artin L-függvény

Az Artin L-függvény az algebrai számelmélet egyik központi objektuma, ami számtestek egy Galois-bővítésének aritmetikai tulajdonságainak összességét kódolja egy analitikus objektumban. A számelmélet számos fontos kérdése megfogalmazható az Artin L-függvények viselkedése, speciálisan az egyes helyeken felvett értékein keresztül. Az Artin L-függvény általánosítja a Riemann ζ-függvény, a Dedekind ζ-függvény illetve a Dirichlet L-függvény fogalmát.

Komplex Artin L-függvények

Legyen $L/K$ számtestek egy Galois-bővítése, és jelölje ${\mathcal {O}}_{L}$ illetve ${\mathcal {O}}_{K}$ az egészek gyűrűit bennük. Legyen ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}$ egy prímideál, és legyen ${\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {O}}_{L}$ egy ${\mathfrak {p}}$ fölötti prím; ekkor az ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}$ véges test az ${\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}$ véges test Galois-bővítése. A bővítés Galois-csoportja ciklikus, és egy generátora a Frobenius-leképezés, ami az ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}$ egy elemét $\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})=\#({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}})$-edik hatványra emeli (ezt a kitevőt a ${\mathfrak {P}}$ abszolút normájának nevezik).

Jelölje $G_{\mathfrak {P}}$ illetve $I_{\mathfrak {P}}$ a ${\mathfrak {P}}$-hez rendelt felbontási részcsoportot illetve inerciarészcsoportot. A faktorcsoportról a maradéktestek Galois-csoportjára képző természetes leképezés egy csoportizomorfizmus, így a faktorcsoport is ciklikus, és egy generátora a jobb oldali Frobenius-leképezés ősképe, jelölje ezt $\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}$:

${\begin{aligned}G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}&\xrightarrow {\sim } \mathrm {Gal} \left({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}{\bigg /}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}\right)\\\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}&\mapsto \left(x\mapsto x^{\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})}\right)\end{aligned}}$

Legyen $\rho :\mathrm {Gal} (L/K)\to \mathrm {GL} (V)$ a Galois-csoport egy reprezentációja. Jelölje $V^{I_{\mathfrak {P}}}$ az inerciarészcsoport alatt invariáns vektorok alterét. A $G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}$ faktorcsoport hat a $V^{I_{\mathfrak {P}}}$ téren, így a

$\det \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}X\,|\,V^{I_{\mathrm {P} }}\right)$

karakterisztikus polinom jóldefiniált. Továbbá megmutatható, hogy ez csak a ${\mathfrak {p}}$ prímideáltól függ, és nem műlik a ${\mathfrak {P}}$ prím megválasztásán.

Az $L/K$ bővítéshez és a $\rho$ reprezentációhoz tartozó Artin L-függvényt a következő képlet definiálja:

$L(L/K,\rho ,s)=\prod _{\mathfrak {p}}\det \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})^{-s}\,|\,V^{I_{\mathfrak {P}}}\right)^{-1}$,

ahol ${\mathfrak {p}}$ végigfut a K prímideáljain, és s egy komplex szám $\Re (s)>1$ valós résszel. A $L(L/K,\rho ,s)$ jelölésben a külső L a függvényt jelöli, a belső L a számtestet; a különbséget bizonyos források tipográfiai stilizálással hangsúlyozzák. Az egyes prímekhez tartozó tényezőkre gyakran Euler-faktor néven hivatkoznak.

A $L(L/K,\rho ,s)$ függvény abszolút és egyenletesen konvergens a $\Re (s)>1+\delta$ félsíkon bármely $\delta >0$-ra, és meromorf kiterjeszthető az egész komplex számsíkra. Mivel a komplex reprezentációkat meghatározza a karakterük, a függvényt gyakran $L(L/K,\chi ,s)$ jelöli, ahol $\chi =\mathrm {Tr} (\rho )$ a $\rho$ reprezentáció karaktere. A komplex Artin L-függvény funktoriális a testbővítésre illetve a karakterre nézve.

A triviális karakter esetében az Artin L-függvény megegyezik a K test Dedekind zéta-függvényével, és a fenti definícióban szereplő szorzat megegyezik a zétafüggvény Euler-szorzatalakjával. Bár a Dedekind zéta-függvény nem az Euler-szorzatalak mellett egy sor összegeként is definiálható, ez utóbbi tulajdonság nem terjed ki az Artin L-függvényekre.

Az osztálytestelméleten keresztül leírható az Artin L-függvények és a Hecke L-függvények közötti kapcsolat, ezen keresztül pedig az utóbbiak analitikus tulajdonságai átvihetők az Artin L-függvényekre.

Források

• ↑ Pi. Cassou-Noguès 1979: Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911
• ↑ Deligne–Ribet 1ö80: Deligne, Pierre & Ribet, Kenneth A. (1980), "Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields", Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237
• ↑ Greenberg 1983: Ralph Greenberg (1983. március). „On p-adic Artin L-functions”. Nagoya Mathematical Journal 89, 77–87. o. DOI:10.1017/S0027763000020250.  
• ↑ Koblitz 1984: Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3
• ↑ Neukirch 1992: Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. (németül) Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 3-540-54273-6  
• ↑ Ritter–Weiss 2004: Jürgen Ritter, Alfred Weiss (2004. december 1.). „Toward equivariant Iwasawa theory, II”. Indagationes Mathematicae 15 (4), 549–572. o. DOI:10.1016/S0019-3577(04)80018-1.  

Kapcsolódó szócikkek

• Dirichlet-féle L-függvény

Kategória:Algebrai számelmélet Kategória:Függvények